2010-大纲卷II理-15 填-抛物线

本题导读

本题考查抛物线的标准方程与几何性质、中点坐标公式与向量代数，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2010年大纲卷II(理)） 已知抛物线 $C:y^2=2px(p>0)$ 的准线为 $l$，过 $M(1,0)$ 且斜率为 $\sqrt{3}$ 的直线与 $l$ 相交于点 $A$，与 $C$ 的一个交点为 $B$. 若 $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{MB}$，则 $p=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 写出准线 $l$ 方程及过 $M(1,0)$ 的直线方程。
2. 求出交点 $A$ 的坐标。
3. 利用 $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{MB}$ 说明 $M$ 为 $AB$ 的中点，进而求出 $B$ 点坐标。
4. 将点 $B$ 代入抛物线方程 $y^2=2px$ 求出 $p$。

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** $2$

✍【详细解析】

Abstract

抛物线 $y^2=2px$ 的准线方程为 $l:x=-\frac{p}{2}$。

过 $M(1,0)$ 且斜率为 $\sqrt{3}$ 的直线方程为： $y=\sqrt{3}(x-1)$

将 $x_A=-\frac{p}{2}$ 代入直线方程，得点 $A$ 的坐标为： $A\left(-\frac{p}{2},\sqrt{3}\left(-\frac{p}{2}-1\right)\right)$

因为 $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{MB}$，所以 $M$ 为线段 $AB$ 的中点。 设 $B(x_B,y_B)$，由中点坐标公式： $1=\frac{-\frac{p}{2}+x_B}{2}⟹x_B=2+\frac{p}{2}$ $0=\frac{\sqrt{3}\left(-\frac{p}{2}-1\right)+y_B}{2}⟹y_B=\sqrt{3}\left(\frac{p}{2}+1\right)$

因为点 $B$ 在抛物线 $y^2=2px$ 上，代入得： $3{\left(\frac{p}{2}+1\right)}^2=2p\left(2+\frac{p}{2}\right)$

展开化简： $\frac{3}{4}{p}^2+3p+3=4p+p^2⟹\frac{1}{4}{p}^2+p-3=0⟹p^2+4p-12=0$

解得 $p=2$ 或 $p=-6$（舍去，因为 $p>0$）。

故 $p=2$。

答案： $2$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：抛物线的准线性质、中点坐标公式应用。
2. 核心方法：向量条件转化为点坐标几何特征。
3. 避坑指南：注意抛物线参数 $p>0$ 的约束条件，舍去负根。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：源于抛物线标准方程与几何性质结合的基础解答题结构改编。
2. 结论推广：对于抛物线上点与准线上点的中点性质，结合直线斜率可建立关于 $p$ 的二次方程求解。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 09.01 平面向量基本概念

类题演练 (Links)

• 2011-江西卷文-19 解-抛物线焦点弦与向量
• 2011-湖南卷文-21 解-抛物线轨迹与向量最值
• 2012-江西卷文-20 解-向量轨迹抛物线切线