2010-天津卷文-02 单-线性规划最值

本题导读

考查线性规划。可行域三顶点 $(2,1),(0,1),(1,2)$，$z=4x+2y$ 在 $(2,1)$ 处取最大值 $10$，选 B。

📌【题干】

Question

（2010年天津卷(文)） 设变量 $x,y$ 满足约束条件 $\{\begin{array}{l}x+y⩽3,\\ x-y⩾-1,\\ y⩾1,\end{array}$ 则目标函数 $z=4x+2y$ 的最大值为()

A. $12$　　　　　　　B. $10$　　　　　　　C. $8$　　　　　　　D. $2$

🔍【思路分析】

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1. 三条边界线围成三角形可行域。
2. 顶点：$y=1$ 与 $x+y=3$ 交于 $(2,1)$；$y=1$ 与 $x-y=-1$ 交于 $(0,1)$；$x+y=3$ 与 $x-y=-1$ 交于 $(1,2)$。
3. $z$ 值分别为 $10,2,8$，最大为 $10$。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

约束条件表示的可行域是以 $(2,1),(0,1),(1,2)$ 为顶点的三角形区域（含边界）。 目标函数 $z=4x+2y$ 是斜率为 $-2$ 的平行直线族， 在顶点处取值： $z(2,1)=10,z(0,1)=2,z(1,2)=8.$ 故最大值为 $10$，选 B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：线性规划求最值

核心方法：画可行域、定顶点、代值比较

避坑指南：三条直线两两求交要代回第三条验证是否满足约束；本题三角形可行域三个顶点 $(2,1),(0,1),(1,2)$ 缺一不可。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：线性目标函数在闭凸多边形可行域上的最值必在顶点处取得。

结论推广：目标函数斜率 $-2$ 介于边界斜率之间时，平移直线最先（后）碰到哪个顶点，决定了最值位置。

方法推广：整点约束、开区域是线性规划的常见变式。

🔗【关联脉络】

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