2010-天津卷理-13 填-参数方程

本题导读

本题考查直线的参数方程求交点与圆的标准方程求解，利用圆心到切线的距离等于半径计算。

📌【题干】

Question

（2010年天津卷(理)） 已知圆 $C$ 的圆心是直线 $\{\begin{array}{l}x=t\\ y=1+t\end{array}(t\text{ 为参数})$ 与 $x$ 轴的交点，且圆 $C$ 与直线 $x+y+3=0$ 相切，则圆 $C$ 的方程为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 求圆心 $C$：消去参数 $t$ 得直线方程 $y-x=1$，令 $y=0$ 得与 $x$ 轴的交点 $(-1,0)$，即圆心 $C(-1,0)$。
2. 求半径 $R$：利用圆心 $C(-1,0)$ 到切线 $x+y+3=0$ 的距离等于半径 $R$ 计算 $R$。
3. 写出方程：代入圆的标准方程 $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=R^2$。

✅【答案】

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$(x+1{)}^2+y^2=2$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：求圆心坐标 将直线的参数方程 $\{\begin{array}{l}x=t\\ y=1+t\end{array}$ 消去参数 $t$，得普通方程： $y=x+1$

令 $y=0$，解得 $x=-1$。 所以直线与 $x$ 轴的交点坐标为 $(-1,0)$，即圆心 $C$ 的坐标为 $(-1,0)$。

第二步：求半径 $R$ 因为圆 $C$ 与直线 $x+y+3=0$ 相切，所以圆心 $C(-1,0)$ 到该直线的距离等于半径 $R$： $R=\frac{|-1+0+3|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$

半径平方 $R^2=2$。

第三步：写出圆的方程 圆 $C$ 的标准方程为： $(x+1{)}^2+y^2=2$

故答案为：$(x+1{)}^2+y^2=2$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：参数方程消参、直线与 $x$ 轴交点求法、圆与直线相切条件（$d=R$）。
2. 核心方法：消参求圆心 $\to$ 点到直线距离求半径 $\to$ 写出标准方程。
3. 避坑指南：求与 $x$ 轴交点是令 $y=0$ 而非 $x=0$；求得距离后需平方作为标准方程右端常数。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：基础解析几何直线与圆的位置关系考查。
2. 结论推广：圆心为 $(x_0,y_0)$ 且与直线 $Ax+By+C=0$ 相切的圆方程为 $(x-x_0{)}^2+(y-y_0{)}^2=\frac{(A{x}_0+B{y}_0+C{)}^2}{A^2+B^2}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.16 参数方程与复数变换

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷理-05 填-参数方程
• 2011-广东卷文-14 填-参数方程交点
• 2011-新课标卷文-23 解-参数方程与极坐标