2011-上海卷理-05 填-参数方程

本题导读

本题考查极坐标方程化直角坐标方程，以及两直线的夹角公式。

📌【题干】

Question

（2011年上海卷(理)） 在极坐标系中，直线 $\rho (2\cos \theta +\sin \theta )=2$ 与直线 $\rho \cos \theta =1$ 的夹角大小为$\underline{}$.（结果用反三角函数值表示）

🔍【思路分析】

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1. 利用 $\rho \cos \theta =x$、$\rho \sin \theta =y$ 将两条直线化为直角坐标方程。
2. 求出两条直线的斜率 $k_1$ 与 $k_2$（或利用方向向量/法向量夹角公式）。
3. 夹角公式 $\tan \alpha =\left|\frac{k_1-k_2}{1+k_1{k}_2}\right|$ 求得正切值，写出反三角函数值 $\arctan$。

✅【答案】

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$\arctan \frac{1}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

由极坐标与直角坐标互化公式 $x=\rho \cos \theta$，$y=\rho \sin \theta$：

• 对于直线 $\rho (2\cos \theta +\sin \theta )=2$： 展开得 $2\rho \cos \theta +\rho \sin \theta =2$，即直角坐标方程为： $l_1:2x+y-2=0⟹y=-2x+2$ 其斜率 $k_1=-2$。
• 对于直线 $\rho \cos \theta =1$： 其直角坐标方程为： $l_2:x=1$ 该直线垂直于 $x$ 轴，斜率不存在。

法一（利用几何图象法）： 直线 $l_2:x=1$ 垂直于 $x$ 轴。 直线 $l_1:2x+y-2=0$ 的倾斜角为 ${\theta }_1$，则 $\tan {\theta }_1=-2$。 由于 $k_1=-2<0$，直线 $l_1$ 与 $y$ 轴正方向的夹角 $\alpha$ 满足： $\tan \alpha =\left|\frac{1}{k_1}\right|=\left|\frac{1}{-2}\right|=\frac{1}{2}$ 因为直线 $l_2$ 平行于 $y$ 轴，所以直线 $l_1$ 与 $l_2$ 的夹角即为直线 $l_1$ 与 $y$ 轴的夹角，故： $\tan \alpha =\frac{1}{2}⟹\alpha =\arctan \frac{1}{2}$

法二（利用法向量公式）： 直线 $l_1$ 的法向量为 ${\mathbf{n}}_1=(2,1)$；直线 $l_2$ 的法向量为 ${\mathbf{n}}_2=(1,0)$。 设两直线的夹角为 $\alpha$（$\alpha \in \left[0,\frac{\pi }{2}\right]$），则： $\cos \alpha =\frac{|{\mathbf{n}}_1\cdot {\mathbf{n}}_2|}{|{\mathbf{n}}_1|\cdot |{\mathbf{n}}_2|}=\frac{|2\times 1+1\times 0|}{\sqrt{2^2+1^2}\times 1}=\frac{2}{\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$ 由同角三角函数关系，$\sin \alpha =\sqrt{1-{\left(\frac{2}{\sqrt{5}}\right)}^2}=\frac{1}{\sqrt{5}}$， 所以 $\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{1}{2}$。 因此 $\alpha =\arctan \frac{1}{2}$（或 $\arccos \frac{2\sqrt{5}}{5}$ 或 $\arcsin \frac{\sqrt{5}}{5}$）。 故答案为：$\arctan \frac{1}{2}$（或 $\arccos \frac{2\sqrt{5}}{5}$）。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：极坐标化直角坐标、两直线夹角定义（锐角或直角，范围在 $\left[0,\frac{\pi }{2}\right]$）、反三角函数符号。
• 核心方法：法向量点乘法求解两直线夹角的余弦值，避免其中一条直线斜率不存在时的公式失效问题。
• 避坑指南：直线夹角范围为 $\left[0,\frac{\pi }{2}\right]$，余弦值和正切值必须为正数，不可写成负角或纯钝角。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：上海高考特色内容（反三角函数定义与应用）与解析几何极坐标的结合。
• 结论推广：直线 $A_{1}x+B_{1}y+C_1=0$ 与 $x=c$ 的夹角余弦值恒为 $\frac{|A_1|}{\sqrt{A_1^2+B_1^2}}$，正切值恒为 $\left|\frac{B_1}{A_1}\right|$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 16.06 到角公式与夹角公式
• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 2013-浙江卷理-10 单-线面垂直
• 2013-浙江卷理-20 解-线面平行
• 1998-全国卷理-14