2010-安徽卷文-10 单-古典概型正方形连线

本题导读

考查古典概型。总 $6\times 6=36$，有利 $8+2=10$，$P=\frac{10}{36}=\frac{5}{18}$，选 C。

📌【题干】

Question

（2010年安徽卷(文)） 甲从正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，乙也从该正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，则所得的两条直线相互垂直的概率是()

A. $\frac{3}{18}$　　　　　　B. $\frac{3}{18}$　　　　　　C. $\frac{5}{18}$　　　　　　D. $\frac{6}{18}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 四顶点两两连线共 ${\mathrm{C}}_4^2=6$ 条（$4$ 边 $2$ 对角线），甲乙各取一条，总 $6\times 6=36$（有序）。
2. 每条边与 $2$ 条邻边垂直：$4\times 2=8$ 个有序对。
3. 两条对角线互相垂直：$2$ 个有序对。
4. $P=\frac{8+2}{36}=\frac{5}{18}$。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

正方形四个顶点两两连线共有 ${\mathrm{C}}_4^2=6$ 条，其中 $4$ 条边和 $2$ 条对角线。 甲、乙分别独立选择一条直线，基本事件总数为 $6\times 6=36$。 每条边都分别与两条相邻的边垂直，有 $4\times 2=8$ 个有序选择； 两条对角线互相垂直，又产生 $2$ 个有序选择。 有利事件数为 $8+2=10$，所求概率为 $P=\frac{10}{36}=\frac{5}{18}.$ 故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：古典概型与正方形连线

核心方法：总事件 $6\times 6$；有利事件分”边与邻边垂直”和”对角线互相垂直”两类计数

避坑指南：甲乙各选一条直线是有序选取，基本事件总数是 $6\times 6=36$ 不是 ${\mathrm{C}}_6^2$；每条边恰与 $2$ 条邻边垂直，$4$ 条边共 $8$ 个有序对。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：正方形顶点连线系：$4$ 条边加 $2$ 条对角线，是古典概型的常见样本空间。

结论推广：两条对角线互相垂直（正方形特性）贡献 $2$ 个有序对，容易漏计。

方法推广：几何概型与古典概型的区别在样本空间是否有限，本题样本空间有限。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 15.01 古典概型

类题演练 (Links)

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