2010-山东卷文-08 单-导数求最值

本题导读

考查导数求最值。$y^{\prime }=-x^2+81$，令 $y^{\prime }=0$ 得 $x=9$（$x>0$），此时利润最大，选 C。

📌【题干】

Question

（2010年山东卷(文)） 已知某生产厂家的年利润 $y$（单位：万元）与年产量 $x$（单位：万件）的函数关系式为 $y=-\frac{1}{3}{x}^3+81x-234$，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为()

A. $13$ 万件　　　　B. $11$ 万件　　　　C. $9$ 万件　　　　D. $7$ 万件

🔍【思路分析】

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1. $y^{\prime }=-x^2+81$。
2. 令 $y^{\prime }=0$：$-x^2+81=0\Rightarrow x=9$（$x>0$，舍去 $x=-9$）。
3. $x<9$ 时 $y^{\prime }>0$，$x>9$ 时 $y^{\prime }<0$，故 $x=9$ 是极大值点，也是唯一极值点。
4. 因此 $x=9$ 时利润最大。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

对利润函数求导： $y^{\prime }=-\frac{1}{3}\cdot 3x^2+81=-x^2+81.$ 令 $y^{\prime }=0$，得 $-x^2+81=0$，解得 $x=9$（$x>0$，负根舍去）. 当 $0<x<9$ 时，$y^{\prime }>0$，$y$ 单调递增；当 $x>9$ 时，$y^{\prime }<0$，$y$ 单调递减. 所以 $x=9$ 是 $y$ 的极大值点，也是最大值点. 故使厂家获得最大年利润的年产量为 $9$ 万件，选 C.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：导数与函数的最值

核心方法：求导 $y^{\prime }=-x^2+81$，令 $y^{\prime }=0$ 得 $x=9$，判定为最大值点

避坑指南：导数零点 $x=\pm 9$ 中负根无实际意义应舍去；唯一极值点即最值点，但 $x=9$ 左侧递增右侧递减才确认为最大。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：实际应用中的最值问题，函数模型多是多项式或分式，靠导数求极值。

结论推广：三次函数 $y=-\frac{1}{3}{x}^3+81x-234$ 的导数 $y^{\prime }=-x^2+81$ 是开口向下的抛物线，符号”正负”直接对应增减。

方法推广：应用题求最值：求导→令零→判单调→取唯一极值点，最后检查变量实际范围。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值

类题演练 (Links)

• 2009-湖北卷文-21 解-导数最值恒成立
• 2009-湖南卷文-05 单-分类计数
• 2009-湖北卷文-21 解-导数最值恒成立
• 2010-江西卷文-17 解-三次函数极值与单调性