2010-山东卷文-13 填-程序框图循环

本题导读

考查程序框图。$x=4$ 时 $y=1$，$|1-4|=3⩾1$；令 $x=1$，$y=-\frac{1}{2}$，$\left|-\frac{1}{2}-1\right|=\frac{3}{2}⩾1$；令 $x=-\frac{1}{2}$，$y=-\frac{5}{4}$，$\left|-\frac{5}{4}+\frac{1}{2}\right|=\frac{3}{4}<1$，输出 $-\frac{5}{4}$。

📌【题干】

Question

（2010年山东卷(文)） 执行如图所示的程序框图，若输入 $x=4$，则输出 $y$ 的值为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 输入 $x=4$：$y=\frac{1}{2}\times 4-1=1$，$|y-x|=3⩾1$，不满足，$x=1$。
2. $x=1$：$y=\frac{1}{2}\times 1-1=-\frac{1}{2}$，$\left|-\frac{1}{2}-1\right|=\frac{3}{2}⩾1$，不满足，$x=-\frac{1}{2}$。
3. $x=-\frac{1}{2}$：$y=\frac{1}{2}\times \left(-\frac{1}{2}\right)-1=-\frac{5}{4}$，$\left|-\frac{5}{4}+\frac{1}{2}\right|=\frac{3}{4}<1$，满足，输出 $y=-\frac{5}{4}$。

✅【答案】

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$-\frac{5}{4}$

✍【详细解析】

Abstract

按程序框图逐步执行： 第 $1$ 次：$x=4$，$y=\frac{1}{2}\times 4-1=1$，$|y-x|=|1-4|=3⩾1$，故 $x=1$，继续循环. 第 $2$ 次：$x=1$，$y=\frac{1}{2}\times 1-1=-\frac{1}{2}$，$|y-x|=\left|-\frac{1}{2}-1\right|=\frac{3}{2}⩾1$，故 $x=-\frac{1}{2}$，继续循环. 第 $3$ 次：$x=-\frac{1}{2}$，$y=\frac{1}{2}\times \left(-\frac{1}{2}\right)-1=-\frac{5}{4}$，$|y-x|=\left|-\frac{5}{4}+\frac{1}{2}\right|=\frac{3}{4}<1$，满足条件，终止循环. 故输出 $y=-\frac{5}{4}$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：程序框图的循环结构

核心方法：按框图顺序迭代 $y=\frac{1}{2}x-1$，判断 $|y-x|<1$ 决定继续或输出

避坑指南：每次迭代都要用新 $x$（即上一步的 $y$）重新算 $y$；判断框不满足时先 $x=y$ 再回算，别漏这一步。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：循环型框图题的通法是”逐步模拟”，直到满足输出条件。

结论推广：$y=\frac{1}{2}x-1$ 的迭代点列单调递减且逐渐逼近不动点 $-2$，$|y-x|$ 递减至小于 $1$ 停止。

方法推广：框图题先画变量变化的表格，逐行填写 $x,y,|y-x|$，避免跳步心算出错。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2009-山东卷文-15 填-程序框图
• 2011-山东卷文-14 填-程序框图循环
• 2012-山东卷文-07 单-程序框图循环
• 2010-天津卷文-03 单-程序框图求输出