2010-山东卷文-14 填-均值不等式求最值

本题导读

考查均值不等式。$\frac{x}{3}+\frac{y}{4}=1⩾2\sqrt{\frac{xy}{12}}$，得 $xy⩽3$，当 $\frac{x}{3}=\frac{y}{4}=\frac{1}{2}$ 即 $x=\frac{3}{2}$、$y=2$ 时取等，故最大值为 $3$。

📌【题干】

Question

（2010年山东卷(文)） 已知 $x,y\in {\mathbf{R}}^{+}$，且满足 $\frac{x}{3}+\frac{y}{4}=1$，则 $xy$ 的最大值为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. $x,y>0$，由均值不等式 $\frac{a}{+}b2⩾\sqrt{ab}$ 得 $\frac{x}{3}+\frac{y}{4}⩾2\sqrt{\frac{xy}{12}}$。
2. 即 $1⩾2\sqrt{\frac{xy}{12}}$，平方得 $\frac{xy}{12}⩽\frac{1}{4}$，$xy⩽3$。
3. 等号成立条件 $\frac{x}{3}=\frac{y}{4}=\frac{1}{2}$，即 $x=\frac{3}{2}$、$y=2$，可取到，故最大值 $3$。

✅【答案】

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$3$

✍【详细解析】

Abstract

因为 $x>0$，$y>0$，由均值不等式 $\frac{x}{3}+\frac{y}{4}⩾2\sqrt{\frac{x}{3}\cdot \frac{y}{4}}=2\sqrt{\frac{xy}{12}}.$ 又 $\frac{x}{3}+\frac{y}{4}=1$，故 $1⩾2\sqrt{\frac{xy}{12}}.$ 两边平方得 $\frac{xy}{12}⩽\frac{1}{4}$，即 $xy⩽3$. 当且仅当 $\frac{x}{3}=\frac{y}{4}=\frac{1}{2}$，即 $x=\frac{3}{2}$、$y=2$ 时取等号. 故 $xy$ 的最大值为 $3$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：均值不等式求最值

核心方法：$1=\frac{x}{3}+\frac{y}{4}⩾2\sqrt{\frac{xy}{12}}$，解出 $xy$ 上界并验证取等

避坑指南：取等条件 $\frac{x}{3}=\frac{y}{4}=\frac{1}{2}$ 给出 $x=\frac{3}{2},y=2$ 确实可取，故最大值真实达到；只求上界不验证取等是失分点。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：和为定值求积的最值，是均值不等式的标准应用。

结论推广：$\frac{x}{3}+\frac{y}{4}=1$ 时 $xy⩽3$，一般 $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$ 时 $xy⩽\frac{ab}{4}$。

方法推广：用均值不等式求最值务必”一正二定三相等”，尤其验证等号能否取到。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 03.02 均值不等式

类题演练 (Links)

• 2009-天津卷文-09 单-指数对数互化最值
• 2011-湖南卷文-08 单-值域交集取值
• 2009-湖北卷文-17 解-均值不等式应用
• 2011-上海卷文-16 单-均值不等式恒成立