2010-山东卷文-22 解-椭圆方程与斜率定值

本题导读

考查椭圆与斜率。$a^2=2$、$b^2=1$，椭圆 $\frac{x^2}{2}+y^2=1$，焦点 $F_1(-1,0)$、$F_2(1,0)$；设 $P(t,2-t)$ 证 $\frac{1}{k_1}-\frac{3}{k_2}=2$，再由 $k_{OA}+k_{OB}+k_{OC}+k_{OD}=0$ 解得 $P(0,2)$ 或 $\left(\frac{5}{4},\frac{3}{4}\right)$。

📌【题干】

Question

（2010年山东卷(文)） 如图，已知椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）过点 $\left(1,\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$，离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$，左、右焦点分别为 $F_1,F_2$. 点 $P$ 为直线 $l:x+y=2$ 上且不在 $x$ 轴上的任意一点，直线 $P{F}_1$ 和 $P{F}_2$ 与椭圆的交点分别为 $A,B$ 和 $C,D$，$O$ 为坐标原点.

(1) 求椭圆的标准方程；

(2) 设直线 $P{F}_1$、$P{F}_2$ 的斜率分别为 $k_1,k_2$. ① 证明：$\frac{1}{k_1}-\frac{3}{k_2}=2$； ② 问直线 $l$ 上是否存在点 $P$，使得直线 $OA,OB,OC,OD$ 的斜率 $k_{OA},k_{OB},k_{OC},k_{OD}$ 满足 $k_{OA}+k_{OB}+k_{OC}+k_{OD}=0$？若存在，求出所有满足条件的点 $P$ 的坐标；若不存在，说明理由.

🔍【思路分析】

破题导航

1. (1) 过点 $\left(1,\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$：$\frac{1}{a^2}+\frac{1/2}{b^2}=1$；离心率 $e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，故 $c^2=\frac{1}{2}{a}^2$，$b^2=a^2-c^2=\frac{1}{2}{a}^2$。
2. 代入：$\frac{1}{a^2}+\frac{1}{2b^2}=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{a^2}=\frac{2}{a^2}=1$，$a^2=2$，$b^2=1$。椭圆 $\frac{x^2}{2}+y^2=1$，$F_1(-1,0)$、$F_2(1,0)$。
3. (2)① 设 $P(t,2-t)$（$t\ne 2$，即不在 $x$ 轴），$k_1=\frac{2-t}{t+1}$，$k_2=\frac{2-t}{t-1}$。
4. $\frac{1}{k_1}-\frac{3}{k_2}=\frac{t+1}{2-t}-\frac{3(t-1)}{2-t}=\frac{t+1-3t+3}{2-t}=\frac{4-2t}{2-t}=2$。
5. ② 设过 $F_1$ 的直线 $P{F}_1$ 与椭圆交于 $A,B$，联立 $y=k_1(x+1)$ 与椭圆，由韦达定理得 $k_{OA}+k_{OB}$ 关于 $k_1$ 的表达式；同理 $k_{OC}+k_{OD}$ 关于 $k_2$。
6. 由条件 $k_{OA}+k_{OB}+k_{OC}+k_{OD}=0$ 结合 $k_1{k}_2$ 关系解出 $t$，得 $P(0,2)$ 或 $\left(\frac{5}{4},\frac{3}{4}\right)$。

✅【答案】

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(1) $\frac{x^2}{2}+y^2=1$

(2) ①证明见解析；②存在，$P(0,2)$ 或 $P\left(\frac{5}{4},\frac{3}{4}\right)$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 设半焦距为 $c$，由离心率 $e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，得 $c^2=\frac{1}{2}{a}^2$，故 $b^2=a^2-c^2=\frac{1}{2}{a}^2$. 又椭圆过点 $\left(1,\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$，代入 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ 得 $\frac{1}{a^2}+\frac{1/2}{b^2}=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{a^2}=\frac{2}{a^2}=1,$ 故 $a^2=2$，$b^2=1$. 椭圆的标准方程为 $\frac{x^2}{2}+y^2=1$，焦点为 $F_1(-1,0)$、$F_2(1,0)$. (2)① 设 $P(t,2-t)$（$P$ 不在 $x$ 轴上，故 $t\ne 2$），则 $k_1=\frac{2-t}{t+1},k_2=\frac{2-t}{t-1}.$ 于是 $\frac{1}{k_1}-\frac{3}{k_2}=\frac{t+1}{2-t}-\frac{3(t-1)}{2-t}=\frac{t+1-3t+3}{2-t}=\frac{4-2t}{2-t}=2.$ 即 $\frac{1}{k_1}-\frac{3}{k_2}=2$. ② 设 $A(x_1,y_1)$、$B(x_2,y_2)$ 为直线 $P{F}_1:y=k_1(x+1)$ 与椭圆的交点. 代入椭圆方程得 $(1+2k_1^2)x^2+4k_1^{2}x+2k_1^2-2=0.$ 由韦达定理 $x_1+x_2=-\frac{4k_1^2}{1+2k_1^2}$，$x_1{x}_2=\frac{2k_1^2-2}{1+2k_1^2}$. 又 $y_1=k_1(x_1+1)$、$y_2=k_1(x_2+1)$，故 $k_{OA}+k_{OB}=\frac{y_1}{x_1}+\frac{y_2}{x_2}=2k_1+k_1\left(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}\right)=2k_1+k_1\frac{x_1+x_2}{x_1{x}_2}=\frac{-2k_1}{k_1^2-1}.$ 同理，设 $C,D$ 为直线 $P{F}_2:y=k_2(x-1)$ 与椭圆的交点，得 $k_{OC}+k_{OD}=\frac{-2k_2}{k_2^2-1}.$ 由条件 $k_{OA}+k_{OB}+k_{OC}+k_{OD}=0$，即 $\frac{-2k_1}{k_1^2-1}+\frac{-2k_2}{k_2^2-1}=0.$ 结合 $\frac{1}{k_1}-\frac{3}{k_2}=2$（即 $k_2=\frac{3k_1}{2k_1+1}$）代入并化简，解得 $k_1$ 后回代 $P(t,2-t)$， 可得 $t=0$ 或 $t=\frac{5}{4}$（并排除 $t=-1,1,\frac{1}{2},\frac{3}{2},2$ 等使斜率无意义的取值）. 当 $t=0$ 时 $P(0,2)$；当 $t=\frac{5}{4}$ 时 $P\left(\frac{5}{4},\frac{3}{4}\right)$. 经检验，这两点均满足条件，故存在满足题意的点 $P$，其坐标为 $(0,2)$ 或 $\left(\frac{5}{4},\frac{3}{4}\right)$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：椭圆方程与斜率的定值问题

核心方法：(1) 由过点与离心率求 $a^2,b^2$；(2) 设 $P(t,2-t)$ 求 $k_1,k_2$ 证恒等式，再解斜率之和为零的点

避坑指南：$P(t,2-t)$ 时 $k_1=\frac{2-t}{t+1},k_2=\frac{2-t}{t-1}$，$\frac{1}{k_1}-\frac{3}{k_2}=2$ 是纯代数化简；斜率之和为零的条件结合 $k_1{k}_2$ 关系解出 $t$，并排除使斜率无意义的点。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：椭圆与直线斜率的定值、存在性问题，是解析几何压轴题的常见设问。

结论推广：椭圆 $\frac{x^2}{2}+y^2=1$ 的焦点 $(\pm 1,0)$，$P$ 在 $x+y=2$ 上，$k_1,k_2$ 满足 $\frac{1}{k_1}-\frac{3}{k_2}=2$。

方法推广：解析几何压轴题先设点写斜率，用韦达定理表示交点斜率之和，再代入条件解参数，最后检验存在性与分母非零。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结

类题演练 (Links)

• 2009-新课标卷文-20 解-椭圆方程与相关点轨迹
• 2009-山东卷文-22 解-轨迹与椭圆圆综合
• 2009-辽宁卷文-22 解-椭圆方程与斜率定值
• 2011-大纲卷文-22 解-椭圆与四点共圆