2009-山东卷文-22 解-轨迹与椭圆圆综合

本题导读

考查轨迹与综合。轨迹 $m{x}^2+y^2=1$ 按 $m$ 分类；${\rho }^2=\frac{4}{5}$；$|A_1{B}_1{|}^2=\frac{(R^2-1)(4-R^2)}{R^2}$ 在 $R=\sqrt{2}$ 取最大值 $1$。

📌【题干】

Question

（2009年山东卷(文)） 设 $m\in \mathbf{R}$，在平面直角坐标系中，已知向量 $\mathbf{a}=(mx,y+1)$，向量 $\mathbf{b}=(x,y-1)$，$\mathbf{a}\perp \mathbf{b}$，动点 $M(x,y)$ 的轨迹为 $E$.

(1)求轨迹 $E$ 的方程，并说明该方程所表示曲线的形状；

(2)已知 $m=\frac{1}{4}$.证明：存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与轨迹 $E$ 恒有两个交点 $A$，$B$，且 $OA\perp OB$（$O$ 为坐标原点），并求出该圆的方程；

(3)已知 $m=\frac{1}{4}$.设直线 $l$ 与圆 $C:x^2+y^2=R^2$（$1<R<2$）相切于 $A_1$，且 $l$ 与轨迹 $E$ 只有一个公共点 $B_1$.当 $R$ 为何值时，$|A_1{B}_1|$ 取得最大值？并求最大值.

🔍【思路分析】

破题导航

1. (1) $\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=m{x}^2+(y+1)(y-1)=m{x}^2+y^2-1=0$，即 $m{x}^2+y^2=1$：$m>0$ 时为椭圆，$m=0$ 时为两条平行直线 $y=\pm 1$，$m<0$ 时为焦点在 $y$ 轴上的双曲线。
2. (2) $m=\frac{1}{4}$ 时轨迹为椭圆 $\frac{x^2}{4}+y^2=1$。设圆 $x^2+y^2={\rho }^2$，切线 $y=kx+t$，则 ${\rho }^2=\frac{t^2}{1+k^2}$。
3. 联立椭圆：$(1+4k^2)x^2+8ktx+4t^2-4=0$，$x_1{x}_2=\frac{4(t^2-1)}{1+4k^2}$，$y_1{y}_2=\frac{t^2-4k^2}{1+4k^2}$。
4. $\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=\frac{5t^2-4(1+k^2)}{1+4k^2}$，代入 $t^2={\rho }^2(1+k^2)$，其为零对一切 $k$ 成立当且仅当 $5{\rho }^2=4$。
5. 判别式 $=16[(1+4k^2)-t^2]=\frac{16(1+16k^2)}{5}>0$，恒有两交点。圆为 $x^2+y^2=\frac{4}{5}$。
6. (3) $l$ 与椭圆相切于 $B_1(x_0,y_0)$，切线 $l:\frac{x_{0}x}{4}+y_{0}y=1$；圆切条件即原点到 $l$ 的距离为 $R$。
7. 由 $\frac{1}{x_0^2/16+y_0^2}=R^2$ 与 $x_0^2/4+y_0^2=1$ 解得 $x_0^2=\frac{16(R^2-1)}{3R^2}$，$y_0^2=\frac{4-R^2}{3R^2}$。
8. 切点 $A_1$ 是原点在 $l$ 上的垂足：$A_1=R^2\left(\frac{x_0}{4},y_0\right)$，于是 $\overrightarrow{B_1{A}_1}=\left(\frac{(R^2-4)x_0}{4},(R^2-1)y_0\right)$。
9. $|A_1{B}_1{|}^2=\frac{(R^2-1)(4-R^2)}{R^2}$。令 $t=R^2\in (1,4)$，$|A_1{B}_1{|}^2=5-t-\frac{4}{t}$，在 $t=2$ 取最大值 $1$，即 $R=\sqrt{2}$ 时 $|A_1{B}_1{|}_{\max }=1$。

✅【答案】

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(1) $m{x}^2+y^2=1$，按 $m>0$，$m=0$，$m<0$ 分别为椭圆、两条平行直线、双曲线；(2)圆 $x^2+y^2=\frac{4}{5}$；(3)$R=\sqrt{2}$ 时 $|A_1{B}_1|$ 取得最大值 $1$

✍【详细解析】

Abstract

（1）由 $\mathbf{a}\perp \mathbf{b}$，得 $\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=m{x}^2+(y+1)(y-1)=m{x}^2+y^2-1=0$， 即轨迹 $E$ 的方程为 $m{x}^2+y^2=1$。 当 $m>0$ 时，这是中心在原点、焦点在 $y$ 轴上的椭圆；当 $m=0$ 时，方程为 $y^2=1$，表示两条平行直线 $y=1$ 与 $y=-1$；当 $m<0$ 时，方程可写成 $y^2-|m|x^2=1$，表示焦点在 $y$ 轴上的双曲线。 （2）$m=\frac{1}{4}$ 时，轨迹为椭圆 $\frac{x^2}{4}+y^2=1$。 设圆的方程为 $x^2+y^2={\rho }^2$，其任一条切线为 $y=kx+t$（斜率不存在时 $x=\pm \rho$，与椭圆交于两点且 $OA\perp OB$ 可单独验证），则原点到切线的距离为 $\rho$，即 $t^2={\rho }^2(1+k^2)$。 联立 $\{\begin{array}{l}y=kx+t\\ \frac{x^2}{4}+y^2=1\end{array}$，得 $(1+4k^2)x^2+8ktx+4t^2-4=0$， $x_1{x}_2=\frac{4(t^2-1)}{1+4k^2}$，$x_1+x_2=-\frac{8kt}{1+4k^2}$。 $y_1{y}_2=k^2{x}_1{x}_2+kt(x_1+x_2)+t^2=\frac{4k^2(t^2-1)-8k^2{t}^2+t^2(1+4k^2)}{1+4k^2}=\frac{t^2-4k^2}{1+4k^2}$。 于是 $\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=x_1{x}_2+y_1{y}_2=\frac{5t^2-4(1+k^2)}{1+4k^2}$。 代入 $t^2={\rho }^2(1+k^2)$，得 $\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=\frac{(1+k^2)(5{\rho }^2-4)}{1+4k^2}$， 其对一切 $k$ 恒为零当且仅当 $5{\rho }^2=4$，即 ${\rho }^2=\frac{4}{5}$。 此时判别式 $\Delta =(8kt{)}^2-4(1+4k^2)(4t^2-4)=16[(1+4k^2)-t^2]=\frac{16(1+16k^2)}{5}>0$，切线与椭圆恒有两个交点。 （斜率不存在时，$x=\pm \frac{2}{\sqrt{5}}$ 与椭圆交点满足 $y=\pm \frac{1}{\sqrt{5}}$，$x^2+y^2=1$，数量积为零。） 故存在圆 $x^2+y^2=\frac{4}{5}$ 满足题意。 （3）$l$ 与椭圆只有一个公共点 $B_1(x_0,y_0)$，故 $l$ 是椭圆的切线：$\frac{x_{0}x}{4}+y_{0}y=1$。 原点到 $l$ 的距离为 $\frac{1}{\sqrt{x_0^2/16+y_0^2}}=R$，即 $x_0^2/16+y_0^2=\frac{1}{R^2}$；又 $B_1$ 在椭圆上：$\frac{x_0^2}{4}+y_0^2=1$。 两式相减得 $\frac{3x_0^2}{16}=1-\frac{1}{R^2}$，故 $x_0^2=\frac{16(R^2-1)}{3R^2}$，$y_0^2=1-\frac{x_0^2}{4}=\frac{4-R^2}{3R^2}$。 $A_1$ 是原点在 $l$ 上的垂足。把 $l$ 写成 $n\cdot (x,y)=1$，$n=\left(\frac{x_0}{4},y_0\right)$，则 $A_1=\frac{n}{|n{|}^2}=R^2\left(\frac{x_0}{4},y_0\right)$。 于是 $\overrightarrow{B_1{A}_1}=\left(\frac{(R^2-4)x_0}{4},(R^2-1)y_0\right)$， $|A_1{B}_1{|}^2=\frac{(R^2-4{)}^2{x}_0^2}{16}+(R^2-1{)}^2{y}_0^2=\frac{(R^2-1)(4-R^2)}{3R^2}\left[(4-R^2)+(R^2-1)\right]=\frac{(R^2-1)(4-R^2)}{R^2}$。 令 $t=R^2\in (1,4)$，则 $|A_1{B}_1{|}^2=\frac{(t-1)(4-t)}{t}=5-t-\frac{4}{t}$， 其导数为 $-1+\frac{4}{t^2}$，在 $t=2$ 处为零，且先增后减，故最大值为 $5-2-2=1$。 所以当 $R=\sqrt{2}$ 时，$|A_1{B}_1|$ 取得最大值，最大值为 $1$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：轨迹方程与椭圆、圆的综合

核心方法：数量积坐标化按 $m$ 分类；切线 $y=kx+t$ 把”$OA\perp OB$ 对一切切线”化为系数恒等；切点几何量化为 $R^2$ 的函数

避坑指南：$\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=\frac{(1+k^2)(5{\rho }^2-4)}{1+4k^2}$ 恒为零 $\iff {\rho }^2=\frac{4}{5}$；$|A_1{B}_1{|}^2=5-t-\frac{4}{t}$（$t=R^2$）在 $t=2$ 取最大值 $1$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：“对任意一条切线”的恒成立问题，把垂直条件写成关于 $k$ 的表达式，令系数为零。

结论推广：切点 $A_1$ 是圆心到切线的垂足，椭圆切线 $\frac{x_{0}x}{4}+y_{0}y=1$ 的法向量就是 $\left(\frac{x_0}{4},y_0\right)$，垂足坐标不用解方程组。

方法推广：最后一问把距离平方凑成 $5-t-\frac{4}{t}$ 后用对勾函数最值（$t=2$），导数与均值不等式两条路都通。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.08 一般曲线与方程
• 18.01 椭圆专题全总结
• 17.06 圆的切线与极点极线

类题演练 (Links)

• 2009-大纲卷II文-22 解-椭圆存在点与直线
• 2009-天津卷文-22 解-椭圆平行比例与外接圆
• 2009-大纲卷II文-15 填-圆的切线围三角形
• 2009-上海卷文-17 单-中点轨迹方程