2010-山东卷理-15 填-解三角形

本题导读

本题考查利用辅助角公式解三角方程求角，并结合正弦定理求解指定角的大小。

📌【题干】

Question

（2010年山东卷(理)） 在 $△ABC$ 中，$A,B,C$ 所对的边分别为 $a,b,c$.若 $a=\sqrt{2},b=2$，$\sin B+\cos B=\sqrt{2}$，则角 $A$ 的大小为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 利用辅助角公式化简 $\sin B+\cos B=\sqrt{2}\sin \left(B+\frac{\pi }{4}\right)=\sqrt{2}$，解出角 $B$。
2. 利用正弦定理 $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}$ 求出 $\sin A$。
3. 结合边的大小关系 $a<b$ 判断角 $A$ 的取值范围，得出角 $A$ 的具体度数。

✅【答案】

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$\frac{\pi }{6}$

✍【详细解析】

Abstract

步骤一：求角 $B$ 的大小 已知 $\sin B+\cos B=\sqrt{2}$，利用辅助角公式变形： $\sqrt{2}\sin \left(B+\frac{\pi }{4}\right)=\sqrt{2}⟹\sin \left(B+\frac{\pi }{4}\right)=1$

因为 $B\in (0,\pi )$，所以 $B+\frac{\pi }{4}\in \left(\frac{\pi }{4},\frac{5\pi }{4}\right)$。 解得： $B+\frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{2}⟹B=\frac{\pi }{4}\left(45^{\circ }\right)$

步骤二：利用正弦定理求角 $A$ 由正弦定理 $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}$： $\sin A=\frac{a\sin B}{b}=\frac{\sqrt{2}\times \sin 45^{\circ }}{2}=\frac{\sqrt{2}\times \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}=\frac{1}{2}$

因为 $a=\sqrt{2}<b=2$，由大边对大角可知 $A<B=45^{\circ }$。 所以 $A$ 为锐角，解得： $A=\frac{\pi }{6}\left(30^{\circ }\right)$

故答案为：$\frac{\pi }{6}$（或 $30^{\circ }$）

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：辅助角公式与正弦定理解三角形。
2. 核心方法：三角方程求角 $\to$ 正弦定理求已知边的对角。
3. 避坑指南：由 $\sin A=\frac{1}{2}$ 求角时，需根据大边对大角（$a<b⟹A<B$）排除钝角 $150^{\circ }$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：基础解三角形填空题，考查正弦定理与三角恒等变换的结合。
2. 结论推广：形如 $\sin X+\cos X=\sqrt{2}$ 的方程，其解必满足 $X=2k\pi +\frac{\pi }{4}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 07.02 三角函数的定义与诱导公式

类题演练 (Links)

• 2011-大纲卷文-18 解-正弦定理解三角形
• 2011-安徽卷文-16 解-正弦定理解三角形求高
• 2011-湖南卷文-17 解-正弦定理与三角最值