2010-广东卷文-05 单-向量坐标运算数量积

本题导读

考查向量坐标运算。$8a-b=8(1,1)-(2,5)=(6,3)$，$(6,3)\cdot (3,x)=18+3x=30$，得 $x=4$，选 C。

📌【题干】

Question

（2010年广东卷(文)） 若向量 $a=(1,1)$，$b=(2,5)$，$c=(3,x)$ 满足条件 $(8a-b)\cdot c=30$，则 $x=$()

A. $6$　　　　　　　B. $5$　　　　　　　C. $4$　　　　　　　D. $3$

🔍【思路分析】

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1. 先按坐标运算法则求 $8a-b$。
2. 用数量积坐标公式 $(x_1,y_1)\cdot (x_2,y_2)=x_1{x}_2+y_1{y}_2$ 列方程。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

先求 $8a-b$： $8a-b=8(1,1)-(2,5)=(8,8)-(2,5)=(6,3).$ 由 $(8a-b)\cdot c=30$，得 $(6,3)\cdot (3,x)=6\times 3+3x=18+3x=30,$ 解得 $3x=12$，即 $x=4$. 故选 C.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：平面向量的坐标运算与数量积

核心方法：$8a-b=(6,3)$，$(6,3)\cdot (3,x)=18+3x=30$ 解得 $x=4$

避坑指南：先算向量和差再点乘；数量积坐标公式 $(x_1,y_1)\cdot (x_2,y_2)=x_1{x}_2+y_1{y}_2$，别漏 $y$ 项。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：向量坐标运算按分量分别做加减，数量积按分量乘积求和。

结论推广：$(x_1,y_1)\pm (x_2,y_2)=(x_1\pm x_2,y_1\pm y_2)$；$\lambda (x,y)=(\lambda x,\lambda y)$。

方法推广：遇到含参数的数量积等式，展开成关于参数的一次方程直接解。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.03 平面向量的数量积

类题演练 (Links)

• 2009-安徽卷文-11 填-空间坐标系距离
• 2009-新课标卷文-07 单-向量垂直定参
• 2011-北京卷文-11 填-向量共线求参
• 2009-江苏卷-02 填-向量数量积