2009-安徽卷文-11 填-空间坐标系距离

本题导读

考查空间坐标。设 $M=(0,t,0)$，$M{A}^2=t^2+5$，$M{B}^2=t^2+6t+11$，解得 $t=-1$，$M=(0,-1,0)$。

📌【题干】

Question

（2009年安徽卷(文)） 在空间直角坐标系中，已知点 $A(1,0,2)$，$B(1,-3,1)$，点 $M$ 在 $y$ 轴上，且 $M$ 到 $A$ 与到 $B$ 的距离相等，则 $M$ 的坐标是$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设 $M=(0,t,0)$。
2. $M{A}^2=(0-1{)}^2+t^2+(0-2{)}^2=t^2+5$；$M{B}^2=(0-1{)}^2+(t+3{)}^2+(0-1{)}^2=t^2+6t+11$。
3. 相等得 $t=-1$，故 $M=(0,-1,0)$。

✅【答案】

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$(0,-1,0)$

✍【详细解析】

Abstract

设 $M=(0,t,0)$，则 $M{A}^2=(0-1{)}^2+(t-0{)}^2+(0-2{)}^2=t^2+5$，$M{B}^2=(0-1{)}^2+(t+3{)}^2+(0-1{)}^2=t^2+6t+11$。 由 $MA=MB$，得 $t^2+5=t^2+6t+11$，所以 $t=-1$。因此 $M=(0,-1,0)$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：空间直角坐标系与两点距离

核心方法：设参列距离等式

避坑指南：$M$ 在 $y$ 轴上设为 $(0,t,0)$；$M{A}^2$ 与 $M{B}^2$ 展开后 $t^2$ 消掉，一次方程解出 $t=-1$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：空间两点距离公式是平面距离公式的推广。

结论推广：$d^2=(x_1-x_2{)}^2+(y_1-y_2{)}^2+(z_1-z_2{)}^2$。

方法推广：坐标轴上的点有两个分量为 $0$，设点时就定死，减少未知数。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 2009-浙江卷文-05 单-向量坐标运算
• 2011-福建卷文-13 填-向量数量积坐标运算
• 2011-湖南卷文-13 填-向量反向坐标