2010-广东卷文-14 填-中位线与勾股

本题导读

考查中位线。$E,F$ 分别为 $AB,AD$ 中点，故 $EF=\frac{1}{2}BD$。在直角梯形中 $CB\perp AB$，$CD=\frac{a}{2}$，$BC$ 可由 $AB=AD=a$ 求得；$BD=\sqrt{B{C}^2+C{D}^2}=a$，故 $EF=\frac{a}{2}$。

📌【题干】

Question

（2010年广东卷(文)） 如图，在直角梯形 $ABCD$ 中，$DC\parallel AB$，$CB\perp AB$，$AB=AD=a$，$CD=\frac{a}{2}$，点 $E,F$ 分别为线段 $AB,AD$ 的中点，则 $EF=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. $E,F$ 是 $△ABD$ 两边中点，用中位线定理 $EF=\frac{1}{2}BD$。
2. 求 $BD$：过 $D$ 作 $DH\perp AB$，得 $BH=AB-CD=\frac{a}{2}$，$DH=BC$；再用 $AD=a$ 与勾股定 $BC$、$BD$。

✅【答案】

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$\frac{a}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

在 $△ABD$ 中，$E$、$F$ 分别是 $AB$、$AD$ 的中点，由三角形中位线定理得 $EF=\frac{1}{2}BD.$ 下面求 $BD$：过点 $D$ 作 $DH\perp AB$ 于点 $H$，则 $DH=BC$，$BH=AB-DC=a-\frac{a}{2}=\frac{a}{2}$. 在 $Rt△ADH$ 中，$AD=a$，$AH=BH=\frac{a}{2}$，故 $DH=\sqrt{A{D}^2-A{H}^2}=\sqrt{a^2-{\left(\frac{a}{2}\right)}^2}=\frac{\sqrt{3}}{2}a.$ 在 $Rt△BDH$ 中， $BD=\sqrt{B{H}^2+D{H}^2}=\sqrt{{\left(\frac{a}{2}\right)}^2+{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}a\right)}^2}=a.$ 于是 $EF=\frac{1}{2}BD=\frac{a}{2}.$ 故填 $\frac{a}{2}$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三角形中位线与勾股求线段

核心方法：$E,F$ 为中点 $\Rightarrow EF=\frac{1}{2}BD$；由 $AD=a$、$AH=\frac{a}{2}$ 勾股得 $DH=\frac{\sqrt{3}}{2}a$，再勾股得 $BD=a$

避坑指南：中位线定理 $EF=\frac{1}{2}$ 第三边；两次勾股分别求 $DH$、$BD$，别跳步漏掉中间量。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：中点连线优先想中位线定理，把目标线段化为另一条可求线段。

结论推广：中位线平行于第三边且等于其一半；直角三角形中勾股定理 $a^2+b^2=c^2$。

方法推广：先找中点所在三角形，用中位线转化；求第三边时先补高、再勾股逐步推进。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 11.03 解三角形与解的个数判定

类题演练 (Links)

• 2011-广东卷文-15 填-几何证明选讲梯形
• 2014-广东卷文-15 填-几何证明选讲
• 2013-陕西卷文-16 填-几何证明选讲
• 2013-新课标I卷文-22 解-几何证明选讲