2010-广东卷理-11 填-解三角形

本题导读

本题考查利用三角形内角和关系求解特殊内角，并结合正弦定理计算内角的正弦值。

📌【题干】

Question

（2010年广东卷(理)） 已知 $a,b,c$ 分别是 $\Delta ABC$ 的三个内角 $A,B,C$ 所对的边. 若 $a=1$，$b=\sqrt{3}$，$A+C=2B$，则 $\sin C=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 由 $A+B+C=180^{\circ }$ 和 $A+C=2B$ 求出角 $B$ 的度数。
2. 利用正弦定理 $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}$ 求出 $\sin A$，结合大边对大角判断角 $A$ 的值。
3. 由内角和定理求出角 $C$，进而算出 $\sin C$。

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$1$

✍【详细解析】

Abstract

因为 $A+B+C=180^{\circ }$，且 $A+C=2B$， 所以 $3B=180^{\circ }⟹B=60^{\circ }$。

由正弦定理 $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}$ 得： $\frac{1}{\sin A}=\frac{\sqrt{3}}{\sin 60^{\circ }}=\frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=2⟹\sin A=\frac{1}{2}$

因为 $a=1<b=\sqrt{3}$，所以 $A<B=60^{\circ }$，故 $A=30^{\circ }$。

由此得角 $C$ 为： $C=180^{\circ }-A-B=180^{\circ }-30^{\circ }-60^{\circ }=90^{\circ }$

所以： $\sin C=\sin 90^{\circ }=1$

故答案为 $1$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：正弦定理、三角形内角和性质、边角关系。
2. 核心方法：先求特角 $B$，再结合正弦定理求 $A$ 和 $C$。
3. 避坑指南：求出 $\sin A=\frac{1}{2}$ 后，因 $a<b⟹A<B$，须排除钝角 $A=150^{\circ }$ 的可能。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于必修五解三角形章节正弦定理基础应用题。
2. 结论推广: 若三角形三内角成等差数列，则中间角必为 $60^{\circ }$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 07.02 三角函数的定义与诱导公式

类题演练 (Links)

• 2011-大纲卷文-18 解-正弦定理解三角形
• 2011-安徽卷文-16 解-正弦定理解三角形求高
• 2011-湖南卷文-17 解-正弦定理与三角最值