2010-广东卷理-14 填-三角

本题导读

本题考查垂径定理、解直角三角形以及相交弦定理的综合应用。

📌【题干】

Question

（2010年广东卷(理)） 如图，$AB,CD$ 是半径为 $a$ 的圆 $O$ 的两条弦，它们相交于 $AB$ 的中点 $P$，$PD=\frac{2a}{3}$，$\angle OAP=30^{\circ }$，则 $CP=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 利用垂径定理判定 $OP\perp AB$，在 Rt$△OPA$ 中结合半径 $OA=a$ 和 $\angle OAP=30^{\circ }$ 求出 $OP$ 与 $AP$ 的长。
2. 由 $P$ 为 $AB$ 中点得出 $BP=AP$。
3. 根据相交弦定理 $AP\cdot PB=CP\cdot PD$ 列方程求出 $CP$。

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$\frac{9}{8}a$

✍【详细解析】

Abstract

因为 $P$ 是 $AB$ 的中点，由垂径定理得 $OP\perp AB$，即 $△OPA$ 为直角三角形。

在 Rt$△OPA$ 中，已知 $OA=a$（半径），$\angle OAP=30^{\circ }$： $OP=OA\cdot \sin 30^{\circ }=\frac{a}{2}$ $AP=OA\cdot \cos 30^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}a$

因为 $P$ 为 $AB$ 中点，所以 $BP=AP=\frac{\sqrt{3}}{2}a$。

根据相交弦定理 $AP\cdot PB=CP\cdot PD$： $\left(\frac{\sqrt{3}}{2}a\right)\times \left(\frac{\sqrt{3}}{2}a\right)=CP\times \left(\frac{2a}{3}\right)$

化简得： $\frac{3}{4}{a}^2=CP\cdot \frac{2a}{3}⟹CP=\frac{3}{4}{a}^2\times \frac{3}{2a}=\frac{9}{8}a$

故答案为 $\frac{9}{8}a$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：垂径定理、解直角三角形、相交弦定理。
2. 核心方法：利用圆的几何性质转化为线段乘积关系。
3. 避坑指南：注意由“中点”得出“垂直”的条件成立的前提是 $AB$ 不是直径，此题中 $P$ 明显不为圆心，结论成立。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于选修4-1几何证明选讲中圆的几何性质综合题。
2. 结论推广: 若圆内两弦交于其中一条弦的中点 $P$，则另一弦被 $P$ 分成的两线段之积等于该弦一半的平方（即 $CP\cdot PD=A{P}^2$）。

🔗【关联脉络】

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类题演练 (Links)

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