2010-广东卷理-17 解-二项分布

本题导读

本题考查利用频率分布直方图提取数据，计算超几何分布的分布列以及利用二项分布解决独立重复试验的概率问题。

📌【题干】

Question

（2010年广东卷(理)） 某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的 40 件产品作为样本称出它们的重量（单位：克），重量的分组区间为 $(490,495],(495,500],\cdots ,(510,515]$，由此得到样本的频率分布直方图，如图所示.

(1) 根据频率分布直方图，求重量超过 505 克的产品数量；

(2) 在上述抽取的 40 件产品中任取 2 件，设 $Y$ 为重量超过 505 克的产品数量，求 $Y$ 的分布列；

(3) 从流水线上任取 5 件产品，求恰有 2 件产品重量超过 505 克的概率.

🔍【思路分析】

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1. 计算重量在 $(505,510]$ 与 $(510,515]$ 区间的频率之和，乘以样本容量 40 得到数量。
2. $Y$ 的可能取值为 $0,1,2$，样本中重量超过 505 克的有 12 件，不超过的有 28 件，利用超几何分布概率公式求解并列出分布列。
3. 从流水线上任取产品属于独立重复试验，单件产品重量超过 505 克的概率等于样本频率 $0.3$，利用二项分布公式计算概率。

✅【答案】

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待补

✍【详细解析】

Abstract

(1) 重量超过 505 克的产品频率为： $p=(0.05+0.01)\times 5=0.3$ 故重量超过 505 克的产品数量为 $40\times 0.3=12$ 件。

(2) 抽取的 40 件产品中，重量超过 505 克的有 12 件，不超过 505 克的有 $40-12=28$ 件。 $Y$ 的可能取值为 $0,1,2$。 $P(Y=0)=\frac{C_{28}^2}{C_{40}^2}=\frac{378}{780}=\frac{63}{130}$ $P(Y=1)=\frac{C_{12}^1{C}_{28}^1}{C_{40}^2}=\frac{336}{780}=\frac{56}{130}$ $P(Y=2)=\frac{C_{12}^2}{C_{40}^2}=\frac{66}{780}=\frac{11}{130}$ 所以 $Y$ 的分布列为：

$Y$	$0$	$1$	$2$
$P$	$\frac{63}{130}$	$\frac{56}{130}$	$\frac{11}{130}$

(3) 由频率分布直方图可知，从流水线上任取 1 件产品，其重量超过 505 克的概率为 $p=0.3$。 设从流水线上任取 5 件产品中，重量超过 505 克的产品件数为 $X$，则 $X\sim B(5,0.3)$。 故恰有 2 件产品重量超过 505 克的概率为： $P(X=2)=C_5^2\times (0.3{)}^2\times (1-0.3{)}^3=10\times 0.09\times 0.343=0.3087$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：频率分布直方图小矩形面积代表频率（矩形高为 $\frac{\text{频率}}{\text{组距}}$）；有放回与无放回抽样的概率模型区别。
2. 核心方法：第 (2) 问无放回抽取用超几何分布，第 (3) 问总体中独立任取（有放回/大样本）用二项分布。
3. 避坑指南：第 (1) 问计算频率时切记乘以组距 5；第 (2) 与 (3) 问需准确识别概率模型，不能将超几何分布与二项分布混淆。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：源自人教A版必修三统计与选修2-1概率统计综合应用的典型标准试题。
2. 结论推广：从有限总体中无放回抽取有限个个体时，当总体容量极小或不放回时适用超几何分布；当总体容量极其庞大（如生产流水线）时，抽样过程近似独立重复试验，适用二项分布。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 14.03 频率分布直方图中的数据计算

类题演练 (Links)

• 2011-四川卷文-02 单-频率分布估计
• 2011-新课标卷文-19 解-频率分布与利润估计
• 2011-浙江卷文-13 填-频率分布直方图