2010-新课标卷文-12 单-分段对数函数

本题导读

考查分段函数与对数。设共同值为 $k\in (0,1)$，$ab=1$，$c=12-2k\in (10,12)$，$abc\in (10,12)$，选 C。

📌【题干】

Question

（2010年新课标卷(文)） 已知函数 $f(x)=\{\begin{array}{ll}|\lg x|,& 0<x⩽10,\\ -\frac{1}{2}x+6,& x>10,\end{array}$ 若 $a,b,c$ 互不相等，且 $f(a)=f(b)=f(c)$，则 $abc$ 的取值范围是()

A. $(1,10)$　　　　B. $(5,6)$　　　　C. $(10,12)$　　　　D. $(20,24)$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设 $f(a)=f(b)=f(c)=k$，需 $0<k<1$ 才有三个解。
2. $|\lg x|=k$ 的两解为 $10^{-k}$ 与 $10^k$，乘积为 $1$。
3. 第三段：$-\frac{1}{2}c+6=k$，$c=12-2k\in (10,12)$。
4. $abc=1\times c\in (10,12)$。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

设 $f(a)=f(b)=f(c)=k$。要使方程 $f(x)=k$ 有三个互不相等的解，需 $0<k<1$。 在 $(0,10]$ 上，$|\lg x|=k$ 的两解为 $x_1=10^{-k}$，$x_2=10^k$，满足 $x_1{x}_2=10^{-k}\cdot 10^k=1$； 在 $(10,+\infty )$ 上，$-\frac{1}{2}x+6=k$ 的解为 $x_3=12-2k$，且 $x_3>10$ 要求 $k<1$。 不妨 $a=10^{-k}$，$b=10^k$，$c=12-2k$，则 $abc=10^{-k}\times 10^k\times (12-2k)=12-2k\in (10,12).$ 故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：分段函数的图象与对数运算

核心方法：设共同函数值 $k$，三段各解出自变量，乘积化单变量

避坑指南：$|\lg x|=k$ 的两个解是 $10^{-k}$ 与 $10^k$，乘积恒为 $1$，这是本题的”机关”；三解要求 $0<k<1$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：$f(a)=f(b)=f(c)$ 的几何意义：水平直线与图象有三个交点。

结论推广：$10^{-k}\cdot 10^k=10^0=1$，对数题的乘积结构常与指数运算互化。

方法推广：范围题先定参数 $k$ 的范围，再把目标量写成 $k$ 的函数求值域。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 2009-大纲卷II文-03 单-对数函数奇偶对称
• 2009-北京卷文-12 填-分段函数方程
• 2011-福建卷文-08 单-分段函数方程
• 2011-陕西卷文-11 填-分段函数指对复合