2010-新课标卷文-18 解-四棱锥垂直与体积

本题导读

考查垂直与体积。（1）$AC\perp PH$ 且 $AC\perp BD$ $\Rightarrow AC\perp$ 平面 $PBD$；（2）$S_{底}=2+\sqrt{3}$，$PH=\sqrt{3}$，$V=1+\frac{2\sqrt{3}}{3}$。

📌【题干】

Question

（2010年新课标卷(文)） 如图，已知四棱锥 $P-ABCD$ 的底面为等腰梯形，$AB\parallel CD$，$AC\perp BD$，垂足为 $H$，$PH$ 是四棱锥的高.

(1)证明：平面 $PAC\perp$ 平面 $PBD$；

(2)若 $AB=\sqrt{6}$，$\angle APB=\angle ADB=60^{\circ }$，求四棱锥 $P-ABCD$ 的体积.

🔍【思路分析】

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1.（1）$PH\perp$ 底面 $\Rightarrow AC\perp PH$；又 $AC\perp BD$，故 $AC\perp$ 平面 $PBD$，从而平面 $PAC\perp$ 平面 $PBD$。 2.（2）设 $AB=2u$，$CD=2v$，由 $AC\perp BD$ 得梯形高 $h_0=u+v$，$H$ 为对角线交点。 3. $\cos \angle ADB=\frac{v}{\sqrt{u^2+v^2}}=\frac{1}{2}\Rightarrow u^2=3v^2$；$u=\frac{\sqrt{6}}{2}$，$v=\frac{\sqrt{2}}{2}$。 4. $S_{底}=\frac{(\sqrt{6}+\sqrt{2}{)}^2}{4}=2+\sqrt{3}$。 5. $PA=PB$ 且 $\angle APB=60^{\circ }$ $\Rightarrow PA=AB=\sqrt{6}$；$AH=\sqrt{2}u=\sqrt{3}$，$PH=\sqrt{6-3}=\sqrt{3}$。 6. $V=\frac{1}{3}(2+\sqrt{3})\sqrt{3}=1+\frac{2\sqrt{3}}{3}$。

✅【答案】

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(1) 证明见解析

(2) $V=1+\frac{2\sqrt{3}}{3}$

✍【详细解析】

Abstract

（1）因为 $PH\perp$ 平面 $ABCD$，$AC\subset$ 平面 $ABCD$，所以 $AC\perp PH$。 又 $AC\perp BD$，且 $PH$ 与 $BD$ 是平面 $PBD$ 内相交的两条直线， 所以 $AC\perp$ 平面 $PBD$。又 $AC\subset$ 平面 $PAC$，故平面 $PAC\perp$ 平面 $PBD$。 （2）设 $AB=2u$，$CD=2v$，底面等腰梯形的高为 $h_0$。建立直角坐标系，使 $A(-u,0)$，$B(u,0)$，$D(-v,h_0)$，$C(v,h_0)$。 由 $AC\perp BD$，得 $(u+v,h_0)\cdot (-(u+v),h_0)=0$，所以 $h_0=u+v$， 对角线交点 $H$ 的坐标为 $(0,u)$，$AH=BH=\sqrt{2}u$。 由 $\cos \angle ADB=\frac{v}{\sqrt{u^2+v^2}}=\frac{1}{2}$，得 $u^2=3v^2$。 又 $AB=\sqrt{6}$，故 $u=\frac{\sqrt{6}}{2}$，$v=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$CD=\sqrt{2}$，$h_0=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$。 底面面积 $S_{底}=\frac{AB+CD}{2}\cdot h_0=\frac{(\sqrt{6}+\sqrt{2}{)}^2}{4}=2+\sqrt{3}.$ 由 $AC\perp BD$ 知 $HA\perp HB$，结合 $AH=BH$ 及 $PH\perp$ 底面，得 $PA=PB$； 又 $\angle APB=60^{\circ }$，所以 $△APB$ 为等边三角形，$PA=AB=\sqrt{6}$。 在直角三角形 $PHA$ 中，$PH=\sqrt{P{A}^2-A{H}^2}=\sqrt{6-3}=\sqrt{3}$。 故体积 $V=\frac{1}{3}{S}_{底}\cdot PH=\frac{1}{3}(2+\sqrt{3})\times \sqrt{3}=1+\frac{2\sqrt{3}}{3}.$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：面面垂直的判定与棱锥体积

核心方法：（1）线面垂直推面面垂直；（2）建系求底面元素，勾股求高

避坑指南：$\angle ADB=60^{\circ }$ 用在底面梯形中（$\cos \angle ADB=\frac{v}{\sqrt{u^2+v^2}}$），不是侧面角；$PH$ 须由 $P{A}^2-A{H}^2$ 求。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：证面面垂直的路标：先证某平面内一条直线垂直另一平面。

结论推广：等腰梯形对角线互相垂直时，高等于两底和的一半（$h_0=u+v$），这是可记的结论。

方法推广：$\angle APB=60^{\circ }$ 加 $PA=PB$ 隐含等边三角形，$PA=AB$ 是求高的关键。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.03 空间点、线、面位置关系

类题演练 (Links)

• 2009-北京卷文-16 解-四棱锥面面垂直
• 2009-新课标卷文-18 解-向量垂直与三棱锥体积
• 2011-新课标卷文-18 解-四棱锥垂直与求高
• 2011-福建卷文-20 解-四棱锥垂直与体积