2011-新课标卷文-18 解-四棱锥垂直与求高

本题导读

本题考查线面垂直的性质，以及空间向量法。

📌【题干】

Question

（2011年新课标卷(文)） 如图，四棱锥 $P-ABCD$ 中，底面 $ABCD$ 为平行四边形，$\angle DAB=60^{\circ }$，$AB=2AD$，$PD\perp$ 底面 $ABCD$.

(1) 证明：$PA\perp BD$；

(2) 设 $PD=AD=1$，求棱锥 $D-PBC$ 的高.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 步骤1：(1) 建系算 $\overrightarrow{PA}\cdot \overrightarrow{BD}=0$
2. 步骤2：(2) 求平面 $PBC$ 法向量
3. 步骤3：点 $D$ 到平面的距离公式

✅【答案】

点击查看答案

(1) 见解析

(2) $\frac{\sqrt{3}}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

（1）以 $A$ 为原点、$AB$ 为 $x$ 轴正向建系（$z$ 轴竖直向上）。令 $AD=1$，则 $B=(2,0,0)$，$D=\left(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2},0\right)$。由于 $PD\perp$ 底面，设 $PD=h$，则 $P=\left(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2},h\right)$。

于是 $\overrightarrow{PA}=\left(-\frac{1}{2},-\frac{\sqrt{3}}{2},-h\right)$，$\overrightarrow{BD}=\left(-\frac{3}{2},\frac{\sqrt{3}}{2},0\right)$，从而 $\overrightarrow{PA}\cdot \overrightarrow{BD}=-\frac{3}{4}+\frac{3}{4}=0$，故 $PA\perp BD$。

（2）由 $PD=AD=1$，取 $h=1$，则 $C=B+D=\left(\frac{5}{2},\frac{\sqrt{3}}{2},0\right)$，$P=\left(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2},1\right)$。在平面 $PBC$ 内取向量 $\overrightarrow{PB}=\left(\frac{3}{2},-\frac{\sqrt{3}}{2},-1\right)$，$\overrightarrow{PC}=(2,0,-1)$。它们的一个法向量为 $\vec{n}=(\sqrt{3},-1,2\sqrt{3})$，

故平面 $PBC$ 的方程为 $\sqrt{3}x-y+2\sqrt{3}z-2\sqrt{3}=0$。将 $D=\left(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2},0\right)$ 代入，点 $D$ 到平面 $PBC$ 的距离为

$h_D=\frac{\left|\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}-2\sqrt{3}\right|}{\sqrt{3+1+12}}=\frac{2\sqrt{3}}{4}=\frac{\sqrt{3}}{2}$。

所以棱锥 $D-PBC$ 的高为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$。（等体积法验证：$V_{D\text{-}PBC}=V_{P\text{-}DBC}=\frac{1}{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot 1=\frac{\sqrt{3}}{6}$，$S_{△PBC}=1$，$h=3V/S=\frac{\sqrt{3}}{2}$，一致。）

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：线面垂直的性质（PD⊥底面）；平行四边形的向量加法；法向量与点到平面的距离公式

核心方法：建系坐标化 → 数量积证垂直 → 法向量 + 距离公式（等体积法复核）

避坑指南：$C$ 点坐标由平行四边形法则 $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$ 得出，坐标漏加会全盘错；$D$ 到平面 $PBC$ 的距离也可用等体积法，两法结果必须一致。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：四棱锥垂直证明与求高题，与 2012 年山东卷文第 19 题、2013 年安徽卷文第 18 题同族。

结论推广：$\angle DAB=60^{\circ }$、$AB=2AD$ 时 $BD\perp PA$ 与 $PD$ 无关（底面内 $AB\cdot BD$ 的投影关系），这一几何事实在含 $60^{\circ }$ 平行四边形底的四棱锥中反复出现。

方法推广：立体几何解答题标准流程：定系 → 写坐标 → (1) 数量积证垂直 (2) 法向量 + 距离公式；最后用等体积法交叉验证高。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.03 空间点、线、面位置关系
• 21.02 空间向量与线面位置关系判定

类题演练 (Links)

• 2012-山东卷文-19 解-四棱锥线面关系证明
• 2013-安徽卷文-18 解-菱形四棱锥垂直
• 2012-湖南卷文-19 解-四棱锥体积与线面角