2010-新课标卷文-22 解-圆切线几何证明

本题导读

考查几何证明。（1）$\angle ACE=\angle ABC=\angle BCD$；（2）两角对应相等得相似，$\frac{BE}{BC}=\frac{BC}{CD}$。

📌【题干】

Question

（2010年新课标卷(文)） 【选修4-1：几何证明选讲】如图，已知圆上的弧 $\stackrel{⌢}{\mathrm{AC}}=$ 弧 $\stackrel{⌢}{\mathrm{BD}}$，过 $C$ 点的圆的切线与 $BA$ 的延长线交于 $E$ 点，证明：

(1)$\angle ACE=\angle BCD$；

(2)$B{C}^2=BE\cdot CD$.

🔍【思路分析】

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1.（1）弦切角 $\angle ACE$ 等于所夹弧 $AC$ 对的圆周角 $\angle ABC$；等弧 $AC=BD$ 对相等的圆周角 $\angle ABC=\angle BCD$。 2.（2）$\angle EBC=\angle BCD$（第（1）问），$\angle ECB=\angle CDB$（弦切角定理）， 3. 故 $△EBC\sim △BCD$，$\frac{BE}{BC}=\frac{BC}{CD}$。

✅【答案】

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(1) (2)证明见解析

✍【详细解析】

Abstract

（1）由弦切角定理，切线 $CE$ 与弦 $CA$ 所夹的角等于弦 $CA$ 所对的圆周角， 得 $\angle ACE=\angle ABC$。 又因为弧 $\stackrel{⌢}{\mathrm{AC}}$ 与弧 $\stackrel{⌢}{\mathrm{BD}}$ 相等，它们所对的圆周角相等，即 $\angle ABC=\angle BCD$。 所以 $\angle ACE=\angle BCD$。 （2）因为 $E$，$A$，$B$ 三点共线，由（1）得 $\angle EBC=\angle ABC=\angle BCD$； 又由弦切角定理，$\angle ECB=\angle CDB$。 所以 $△EBC\sim △BCD$（对应关系 $E\leftrightarrow B$，$B\leftrightarrow C$，$C\leftrightarrow D$）， 从而 $\frac{BE}{BC}=\frac{BC}{CD}$，即 $B{C}^2=BE\cdot CD$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：弦切角定理与相似三角形

核心方法：（1）弦切角 $=$ 圆周角，等弧对等角；（2）两角相等证相似出比例

避坑指南：相似的对应关系要找准：$E\leftrightarrow B$、$B\leftrightarrow C$、$C\leftrightarrow D$；比例式 $\frac{BE}{BC}=\frac{BC}{CD}$ 交叉相乘才是 $B{C}^2=BE\cdot CD$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：弦切角定理：切线与弦的夹角等于弦所对的圆周角，是圆幂类证明的枢纽。

结论推广：等弧 $\Rightarrow$ 等圆周角，是把”弧条件”翻译为”角条件”的固定句式。

方法推广：证乘积式 $B{C}^2=BE\cdot CD$ 的首选路径是相似：把它改写成比例式再找两个三角形。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 17.07 圆幂定理

类题演练 (Links)

• 2009-新课标卷文-22 解-四点共圆与角平分线
• 2009-广东卷文-15 填-圆周角与面积
• 2009-天津卷文-11 填-相似与外接圆直径
• 2011-辽宁卷文-22 解-三选一几何证明参数方程绝对值