2009-广东卷文-15 填-圆周角与面积

本题导读

考查几何证明选讲（选做）。$AB=2R\sin 30^{\circ }=R$，$R=4$，圆面积 $16\pi$。

📌【题干】

Question

（2009年广东卷(文)） 【几何证明选讲】 如图，点 $A$，$B$，$C$ 是圆 $O$ 上的点，且 $AB=4$，$\angle ACB=30^{\circ }$，则圆 $O$ 的面积等于　　　　.

🔍【思路分析】

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1. 圆周角 $\angle ACB=30^{\circ }$ 所对的圆心角 $\angle AOB=60^{\circ }$。
2. 连 $OA$，$OB$：$△AOB$ 为等边三角形，$R=OA=AB=4$。
3. 圆面积 $\pi R^2=16\pi$。

✅【答案】

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$16\pi$

✍【详细解析】

Abstract

圆周角 $\angle ACB=30^{\circ }$ 所对的圆心角为 $60^{\circ }$。设圆 $O$ 的半径为 $R$， 则弦长公式给出 $AB=2R\sin 30^{\circ }$。代入 $AB=4$，得 $4=2R\times \frac{1}{2}$，所以 $R=4$。 因此圆 $O$ 的面积为 $\pi R^2=16\pi$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：圆周角定理与圆的面积

核心方法：圆周角 $30^{\circ }\Rightarrow$ 圆心角 $60^{\circ }\Rightarrow △AOB$ 等边

避坑指南：$AB=2R\sin 30^{\circ }=R$，所以 $R=AB=4$，面积 $16\pi$；等边三角形是捷径。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：同弧所对圆心角是圆周角的 $2$ 倍。

结论推广：弦长公式 $AB=2R\sin \frac{\theta }{2}$（$\theta$ 为圆心角）通用。

方法推广：答案带 $\pi$：面积公式别漏 $\pi$。

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