2010-新课标卷文-23 解-参数方程轨迹

本题导读

考查参数方程。（1）$t=0$ 或 $-1$，交点 $(1,0)$、$\left(\frac{1}{2},-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$；（2）${\left(x-\frac{1}{4}\right)}^2+y^2=\frac{1}{16}$，圆心 $\left(\frac{1}{4},0\right)$、半径 $\frac{1}{4}$ 的圆。

📌【题干】

Question

（2010年新课标卷(文)） 【选修4-4：坐标系与参数方程】已知直线 $C_1:\{\begin{array}{l}x=1+t\cos \alpha ,\\ y=t\sin \alpha ,\end{array}$（$t$ 为参数），圆 $C_2:\{\begin{array}{l}x=\cos \theta ,\\ y=\sin \theta ,\end{array}$（$\theta$ 为参数）.

(1)当 $\alpha =\frac{\pi }{3}$ 时，求 $C_1$ 与 $C_2$ 的交点坐标；

(2)过坐标原点 $O$ 作 $C_1$ 的垂线，垂足为 $A$，$P$ 为 $OA$ 的中点，当 $\alpha$ 变化时，求点 $P$ 轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线.

🔍【思路分析】

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1.（1）$\alpha =\frac{\pi }{3}$ 时代入 $x^2+y^2=1$：$t^2+t=0$，$t=0$ 或 $t=-1$。 2. 对应交点 $(1,0)$ 与 $\left(\frac{1}{2},-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$。 3.（2）垂足 $A$ 对应 $t=-\cos \alpha$，$A=({\sin }^2\alpha ,-\sin \alpha \cos \alpha )$。 4. $P=\frac{A}{2}$，用二倍角：$x-\frac{1}{4}=-\frac{1}{4}\cos 2\alpha$，$y=-\frac{1}{4}\sin 2\alpha$。 5. 轨迹为圆心 $\left(\frac{1}{4},0\right)$、半径 $\frac{1}{4}$ 的圆。

✅【答案】

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(1) $(1,0)$ 和 $\left(\frac{1}{2},-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$

(2) $\{\begin{array}{l}x=\frac{1}{2}{\sin }^2\alpha ,\\ y=-\frac{1}{2}\sin \alpha \cos \alpha ,\end{array}$（$\alpha$ 为参数），轨迹是圆心为 $\left(\frac{1}{4},0\right)$、半径为 $\frac{1}{4}$ 的圆

✍【详细解析】

Abstract

（1）当 $\alpha =\frac{\pi }{3}$ 时，$C_1:x=1+\frac{t}{2}$，$y=\frac{\sqrt{3}}{2}t$；圆 $C_2$ 的普通方程为 $x^2+y^2=1$。 代入得 ${\left(1+\frac{t}{2}\right)}^2+\frac{3t^2}{4}=1$，即 $t^2+t=0$，$t=0$ 或 $t=-1$。 $t=0$ 时交点为 $(1,0)$；$t=-1$ 时交点为 $\left(\frac{1}{2},-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$。 （2）直线 $C_1$ 过点 $(1,0)$，方向向量为 $(\cos \alpha ,\sin \alpha )$。 原点 $O$ 到 $C_1$ 的垂足 $A$ 对应的参数为 $t=-\cos \alpha$，故 $A=(1,0)-\cos \alpha (\cos \alpha ,\sin \alpha )=({\sin }^2\alpha ,-\sin \alpha \cos \alpha ).$ $P$ 为 $OA$ 的中点，点 $P$ 轨迹的参数方程为 $\{\begin{array}{l}x=\frac{1}{2}{\sin }^2\alpha ,\\ y=-\frac{1}{2}\sin \alpha \cos \alpha ,\end{array}(\alpha \text{ 为参数}).$ 由二倍角公式，$x-\frac{1}{4}=-\frac{1}{4}\cos 2\alpha$，$y=-\frac{1}{4}\sin 2\alpha$， 所以 ${\left(x-\frac{1}{4}\right)}^2+y^2=\frac{1}{16}$。 故点 $P$ 的轨迹是圆心为 $\left(\frac{1}{4},0\right)$、半径为 $\frac{1}{4}$ 的圆。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：直线与圆的参数方程、轨迹的判定

核心方法：（1）代参数入圆方程解 $t$；（2）垂足用投影公式，中点公式 $+$ 二倍角消参

避坑指南：垂足 $A$ 对应的参数是 $t=-\cos \alpha$（投影），不是 $t=\cos \alpha$；交点有两个，$t=0$ 与 $t=-1$ 都要写。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：过定点的直线参数方程中，参数 $t$ 是有向距离，几何意义明确。

结论推广：消参的常用工具是二倍角公式：${\sin }^2\alpha =\frac{1-\cos 2\alpha }{2}$。

方法推广：轨迹方程写成 ${\left(x-\frac{1}{4}\right)}^2+y^2=\frac{1}{16}$ 后必须指出曲线名称（圆）与要素。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.16 参数方程与复数变换

类题演练 (Links)

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