2010-新课标卷理-22 解-几何证明

本题导读

本题考查平面几何中圆的性质，主要利用弦切角定理、同弧对应的圆周角相等以及相似三角形的对应边成比例进行几何证明。

📌【题干】

Question

（2010年新课标卷(理)） 如图，已知圆上的弧 $\widehat{AC}=\widehat{BD}$，过 $C$ 点的圆的切线与 $BA$ 的延长线交于 $E$ 点，证明：

(1) $\angle ACE=\angle BCD$；

(2) $B{C}^2=BE\cdot CD$.

🔍【思路分析】

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1. 第 (1) 问：由切线利用弦切角定理知 $\angle ACE=\angle ABC$；由等弧 $\widehat{AC}=\widehat{BD}$ 知 $\angle ABC=\angle BCD$。通过等量代换即可证明 $\angle ACE=\angle BCD$。
2. 第 (2) 问：证明 $△BCE\sim △CBD$。由 (1) 易得 $\angle BCE=\angle CBD$，再利用圆内接四边形及等弧证明 $\angle E=\angle BDC$，进而由相似三角形对应边比例关系导出 $B{C}^2=BE\cdot CD$。

✅【答案】

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（1）由弧̂𝐴𝐶=̂𝐵𝐷，所对的圆周角相等，因此∠𝐴𝐵𝐶=∠𝐵𝐶𝐷

✍【详细解析】

Abstract

(1) 证明：$\angle ACE=\angle BCD$

因为 $EC$ 是过点 $C$ 的圆的切线，由弦切角定理可得： $\angle ACE=\angle ABC\text{(1)}$

因为圆上的弧 $\widehat{AC}=\widehat{BD}$，根据同圆中等弧所对的圆周角相等，可得： $\angle ABC=\angle BCD\text{(2)}$

由 ① ② 式等量代换可得： $\angle ACE=\angle BCD$

---

(2) 证明：$B{C}^2=BE\cdot CD$

由 (1) 知 $\angle ACE=\angle BCD$，在等式两边同时加上 $\angle ACB$，得： $\angle ACE+\angle ACB=\angle BCD+\angle ACB$ 即： $\angle BCE=\angle ACD$

因为弧 $\widehat{AC}=\widehat{BD}$，所以 $AC=BD$。 在 $△ABC$ 与 $△DCB$ 中：

• $BC=CB$（公共边）
• $AC=BD$
• $\angle ABC=\angle BCD$

故 $△ABC\cong △DCB$（SAS），得： $\angle BAC=\angle BDC$

因为点 $E,A,B$ 共线，$\angle CAE$ 与 $\angle BAC$ 互为补角，又因为圆内接四边形 $ABDC$ 的对角互补（$\angle BDC+\angle BAC=180^{\circ }$ 不成立，此处利用圆外角与圆内接四边形性质）： 在 $△ACE$ 中，$\angle CAE=180^{\circ }-\angle BAC$。 在圆内接四边形 $ABDC$ 中，外角 $\angle CAE=\angle BDC$。

在 $△BCE$ 与 $△CBD$ 中：

• $\angle BCE=\angle CBD$（由 $\angle BCE=\angle ACD=\angle CBD$ 可得）
• $\angle E=180^{\circ }-\angle BCE-\angle CBE=\angle BDC$

故 $△BCE\sim △CBD$。

根据相似三角形对应边成比例： $\frac{BC}{CD}=\frac{BE}{BC}$

交叉相乘即得： $B{C}^2=BE\cdot CD$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：弦切角定理（切线与弦的夹角等于它所夹的弧对的圆周角）与三角形相似定理。
2. 核心方法：利用“等弧转等角/等弦”以及角相等的等量叠加代换。
3. 避坑指南：第 (2) 问关键在于精准锁定需要证明相似的一对三角形（$△BCE$ 与 $△CBD$），切勿找错对应角。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：考查高考选考模块《几何证明选讲》中圆与相似三角形的基本推导。
2. 结论推广：若切线割线定理与等弧条件相结合，可导出与切点相关的众多等积式与相似模型。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 07.02 三角函数的定义与诱导公式

类题演练 (Links)

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• 2011-上海卷理-08 填-三角函数
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