2010-江苏卷-02 填-复数的模

本题导读

考查复数的模。$|z|=\frac{|6+4\mathrm{i}|}{|2-3\mathrm{i}|}=\frac{\sqrt{52}}{\sqrt{13}}=2$。

📌【题干】

Question

（2010年江苏卷） 设复数 $z$ 满足 $z(2-3\mathrm{i})=6+4\mathrm{i}$（其中 $\mathrm{i}$ 为虚数单位），则 $z$ 的模为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 两边取模：$|z|\cdot |2-3\mathrm{i}|=|6+4\mathrm{i}|$。
2. $|2-3\mathrm{i}|=\sqrt{13}$，$|6+4\mathrm{i}|=\sqrt{52}=2\sqrt{13}$。
3. $|z|=\frac{2\sqrt{13}}{\sqrt{13}}=2$。

✅【答案】

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$2$

✍【详细解析】

Abstract

对等式 $z(2-3\mathrm{i})=6+4\mathrm{i}$ 两边取模： $|z|\cdot |2-3\mathrm{i}|=|6+4\mathrm{i}|,$ $|z|=\frac{\sqrt{6^2+4^2}}{\sqrt{2^2+(-3{)}^2}}=\frac{\sqrt{52}}{\sqrt{13}}=2.$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：复数的模与模的运算性质

核心方法：两边取模，$|z_1{z}_2|=|z_1||z_2|$

避坑指南：不必先求 $z=\frac{6+4\mathrm{i}}{2-3\mathrm{i}}$ 再取模；$|6+4\mathrm{i}|=\sqrt{52}=2\sqrt{13}$ 约分更快捷。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：模的乘除性质 $|z_1{z}_2|=|z_1||z_2|$、$\left|\frac{z_1}{z_2}\right|=\frac{|z_1|}{|z_2|}$ 是复数计算的捷径。

结论推广：复数方程两边取模可以瞬间消去未知复数的辐角信息。

方法推广：常见模长：$|a+b\mathrm{i}|=\sqrt{a^2+b^2}$，熟记 $\sqrt{13},\sqrt{52}$ 一类的数值。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 2009-江苏卷-01 填-复数实部
• 2011-江苏卷-03 填-复数方程与实部
• 2012-江苏卷-03 填-复数除法运算
• 2009-浙江卷文-03 单-复数代数运算