2009-浙江卷文-03 单-复数代数运算

本题导读

考查复数运算。$\frac{2}{z}=1-i$，$z^2=2i$，和为 $1+i$，选 A（官方答案表为 A；合集印 D 系照抄理科卷答案的笔误——理科卷该题选项 D 恰为 $1+i$）。

📌【题干】

Question

（2009年浙江卷(文)） 设 $z=1+i$（$i$ 是虚数单位），则 $\frac{2}{z}+z^2=$ ()

🔍【思路分析】

破题导航

1. $\frac{2}{z}=\frac{2(1-i)}{(1+i)(1-i)}=1-i$。
2. $z^2=(1+i{)}^2=2i$。
3. $1-i+2i=1+i$。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

$\frac{2}{z}=\frac{2}{1+i}=\frac{2(1-i)}{(1+i)(1-i)}=\frac{2(1-i)}{2}=1-i$。 $z^2=(1+i{)}^2=1+2i+i^2=2i$。 $\frac{2}{z}+z^2=1-i+2i=1+i$。 故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：复数的代数运算

核心方法：除法实数化 + 乘方展开

避坑指南：$\frac{2}{1+i}$ 分子分母同乘共轭 $1-i$ 化实；$(1+i{)}^2=2i$ 是常用结论，和式别漏中间的 $1-i$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：复数四则运算常考除法与乘方的组合。

结论推广：$\frac{1}{1+i}=\frac{1-i}{2}$，$\frac{1}{1-i}=\frac{1+i}{2}$ 可当结论记。

方法推广：$(1\pm i{)}^2=\pm 2i$，虚部符号与取号一致，别混。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 2009-天津卷文-01 单-复数除法
• 2009-江苏卷-01 填-复数实部
• 2009-辽宁卷文-02 单-复数除法