2010-江苏卷-05 填-偶函数定参

本题导读

考查偶函数。$x$ 为奇函数，故 ${\mathrm{e}}^x+a{\mathrm{e}}^{-x}$ 须为奇函数，$a=-1$。

📌【题干】

Question

（2010年江苏卷） 设函数 $f(x)=x({\mathrm{e}}^x+a{\mathrm{e}}^{-x})$，$x\in \mathbf{R}$ 是偶函数，则实数 $a$ 的值为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. $f(-x)=-x({\mathrm{e}}^{-x}+a{\mathrm{e}}^x)$。
2. $f(-x)=f(x)$：$-({\mathrm{e}}^{-x}+a{\mathrm{e}}^x)={\mathrm{e}}^x+a{\mathrm{e}}^{-x}$。
3. 比较系数：$-a=1$ 且 $-1=a$，$a=-1$。

✅【答案】

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$-1$

✍【详细解析】

Abstract

由 $f(x)$ 为偶函数，$f(-x)=f(x)$ 对一切 $x\in \mathbf{R}$ 成立： $-x\left({\mathrm{e}}^{-x}+a{\mathrm{e}}^x\right)=x\left({\mathrm{e}}^x+a{\mathrm{e}}^{-x}\right),$ 即 $-(a+1){\mathrm{e}}^x=(a+1){\mathrm{e}}^{-x}(\forall x\in \mathbf{R}),$ 故 $a+1=0$，$a=-1$。 （此时 ${\mathrm{e}}^x-{\mathrm{e}}^{-x}$ 为奇函数，乘 $x$ 后为偶函数，合题。）

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：偶函数的定义

核心方法：$f(-x)=f(x)$ 恒成立，比较两边系数

避坑指南：偶函数要求对”一切 $x$“成立，取 $x=1$ 特殊值只能验证不能证明；比较 ${\mathrm{e}}^x$ 与 ${\mathrm{e}}^{-x}$ 系数才是通法。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：奇函数 $\times$ 奇函数 $=$ 偶函数：$x$ 与 ${\mathrm{e}}^x-{\mathrm{e}}^{-x}$ 都是奇函数。

结论推广：${\mathrm{e}}^x-{\mathrm{e}}^{-x}$ 与 ${\mathrm{e}}^x+{\mathrm{e}}^{-x}$ 分别是奇、偶函数，类似 $\sin$ 与 $\cos$。

方法推广：含参奇偶性问题先写定义式，再按函数结构比较系数。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2009-四川卷文-12 单-抽象偶函数
• 2009-江西卷文-05 单-偶函数与周期
• 2009-福建卷文-08 单-偶函数单调性
• 2009-重庆卷文-19 解-偶函数与导数