2009-江西卷文-05 单-偶函数与周期

本题导读

考查奇偶性与周期性。$f(2008)=f(0)=0$，$f(2009)=f(1)=1$，和为 $1$，选 C。

📌【题干】

Question

（2009年江西卷(文)） 已知函数 $f(x)$ 是 $(-\infty ,+\infty )$ 上的偶函数，若对于 $x⩾0$，都有 $f(x+2)=f(x)$，且当 $x\in [0,2)$ 时，$f(x)={\log }_2(x+1)$，则 $f(-2008)+f(2009)$ 的值为 ()

A. $-2$　　　　　　　B. $-1$　　　　　　　C. $1$　　　　　　　D. $2$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 偶函数：$f(-2008)=f(2008)$。
2. $x⩾0$ 时周期为 $2$：$f(2008)=f(0)$，$f(2009)=f(1)$。
3. $f(0)={\log }_{2}1=0$，$f(1)={\log }_{2}2=1$，和为 $1$。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

因为 $f(x)$ 是偶函数，所以 $f(-2008)=f(2008)$。 当 $x⩾0$ 时 $f(x+2)=f(x)$，即周期为 $2$，而 $2008$ 与 $0$、$2009$ 与 $1$ 相差 $2$ 的整数倍， 故 $f(2008)=f(0)={\log }_{2}1=0$，$f(2009)=f(1)={\log }_{2}2=1$。 所以 $f(-2008)+f(2009)=0+1=1$。选 C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：函数的奇偶性与周期性

核心方法：偶函数把负自变量翻正，周期把大数归到已知段

避坑指南：$f(-2008)=f(2008)=f(0)={\log }_{2}1=0$，$f(2009)=f(1)={\log }_{2}2=1$；周期是 $2$ 而非别的数，看准 "$f(x+2)=f(x)$"。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：先奇偶后周期的次序能少走弯路。

结论推广：$x⩾0$ 时周期为 $2$，负数部分由偶函数过渡到正半轴。

方法推广：$2008$、$2009$ 相差 $1$，分别归到 $[0,2)$ 内的 $0$ 与 $1$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2009-福建卷文-08 单-偶函数单调性
• 2011-上海卷文-14 填-周期函数值域
• 2011-新课标卷文-03 单-偶函数与单调性
• 2012-浙江卷文-16 填-周期偶函数求值