2010-江苏卷-09 填-圆上点到直线距离

本题导读

考查圆与直线。$r=2$，四点条件 $⟺d<1$，$\frac{|c|}{13}<1$，$c\in (-13,13)$。

📌【题干】

Question

（2010年江苏卷） 在平面直角坐标系 $xOy$ 中，已知圆 $x^2+y^2=4$ 上有且仅有四个点到直线 $12x-5y+c=0$ 的距离为 $1$，则实数 $c$ 的取值范围是 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 圆心 $(0,0)$，半径 $r=2$。
2. 圆上恰有四点到直线距离为 $1$ $⟺$ 直线两侧各有两点 $⟺d<r-1=1$。
3. $d=\frac{|c|}{\sqrt{12^2+5^2}}=\frac{|c|}{13}<1$。
4. $-13<c<13$。

✅【答案】

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$(-13,13)$

✍【详细解析】

Abstract

圆 $x^2+y^2=4$ 的圆心为 $(0,0)$，半径 $r=2$。 圆心到直线 $12x-5y+c=0$ 的距离 $d=\frac{|c|}{\sqrt{12^2+(-5{)}^2}}=\frac{|c|}{13}.$ 圆上”到直线距离为 $1$ 的点”： 当 $d<r-1=1$ 时，与直线平行且距离为 $1$ 的两条直线都与圆相交，恰有 $4$ 个点； 当 $d=1$ 时只有 $3$ 个点，$d>1$ 时少于 $3$ 个。 故 $\frac{|c|}{13}<1$，即 $-13<c<13.$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：直线与圆的位置关系

核心方法：点数条件翻译为 $d<r-1$

避坑指南：“恰有四点到直线距离为 $1$“要求两条平行于 $l$ 且距离为 $1$ 的直线都与圆相交，即 $d<1$；$d=1$ 时只有 $3$ 个点，临界值取不到。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：圆上点到直线距离的个数问题：作两条平行线看交点数。

结论推广：$|c|$ 与 $\sqrt{12^2+5^2}=13$ 的比值即圆心距。

方法推广：端点开闭判断：代 $d=1$ 验证点数，不满足即为开区间。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 17.05 直线与圆的位置关系

类题演练 (Links)

• 2009-大纲卷II文-15 填-圆的切线围三角形
• 2012-天津卷文-12 填-直线与圆弦长三角形面积
• 2009-天津卷文-14 填-圆与圆公共弦
• 2011-四川卷文-03 单-圆的一般方程