2010-江苏卷-15 解-向量坐标运算

本题导读

考查向量运算。（1）对角线长 $2\sqrt{10}$ 与 $4\sqrt{2}$；（2）$-11-5t=0$，$t=-\frac{11}{5}$。

📌【题干】

Question

（2010年江苏卷） 在平面直角坐标系 $xOy$ 中，已知点 $A(-1,-2)$、$B(2,3)$、$C(-2,-1)$.

(1)求以线段 $AB$、$AC$ 为邻边的平行四边形的两条对角线的长；

(2)设实数 $t$ 满足 $\left(\overrightarrow{AB}-t\overrightarrow{OC}\right)\cdot \overrightarrow{OC}=0$，求 $t$ 的值.

🔍【思路分析】

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1. $\overrightarrow{AB}=(3,5)$，$\overrightarrow{AC}=(-1,1)$。
2. 两条对角线对应 $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=(2,6)$ 与 $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=(4,4)$。
3. 长为 $2\sqrt{10}$ 与 $4\sqrt{2}$。
4. $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{OC}-t|\overrightarrow{OC}{|}^2=-11-5t=0$。

✅【答案】

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(1) $2\sqrt{10}$ 与 $4\sqrt{2}$

(2) $t=-\frac{11}{5}$

✍【详细解析】

Abstract

（1）$\overrightarrow{AB}=(2-(-1),3-(-2))=(3,5)$，$\overrightarrow{AC}=(-2-(-1),-1-(-2))=(-1,1)$。 以 $AB$、$AC$ 为邻边的平行四边形的两条对角线对应的向量为 $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=(2,6),\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=(4,4),$ 故两条对角线的长分别为 $|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}|=\sqrt{2^2+6^2}=2\sqrt{10},|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}|=\sqrt{4^2+4^2}=4\sqrt{2}.$ （2）$\overrightarrow{OC}=(-2,-1)$， $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{OC}=3\times (-2)+5\times (-1)=-11,|\overrightarrow{OC}{|}^2=5.$ 由 $\left(\overrightarrow{AB}-t\overrightarrow{OC}\right)\cdot \overrightarrow{OC}=0$ 得 $-11-5t=0\Rightarrow t=-\frac{11}{5}.$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：平面向量的坐标运算

核心方法：对角线 $=$ 邻边向量的和与差；数量积展开解 $t$

避坑指南：$\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}$ 与 $\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$ 长度相同，两条对角线是”和”与”差”；$\overrightarrow{OC}=(-2,-1)$ 从原点出发，别误用 $\overrightarrow{CO}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：平行四边形法则：对角线向量 $=$ 邻边向量之和（差）。

结论推广：$(\mathbf{a}-t\mathbf{b})\cdot \mathbf{b}=0⟺t=\frac{\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{b}{|}^2}$，即投影系数。

方法推广：坐标运算先写向量坐标，再套公式，避免口算符号错误。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

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