2010-江苏卷-19 解-根号Sn等差数列

本题导读

考查数列与不等式。（1）$a_n=(2n-1)d^2$；（2）$S_m+S_n>\frac{9}{2}{S}_k$ 且常数不可再大，$c_{\max }=\frac{9}{2}$。

📌【题干】

Question

（2010年江苏卷） 设各项均为正数的数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$.已知 $2a_2=a_1+a_3$，数列 $\left\{\sqrt{S_n}\right\}$ 是公差为 $d$ 的等差数列.

(1)求数列 $\{a_n\}$ 的通项公式（用 $n$，$d$ 表示）；

(2)设 $c$ 为实数，对满足 $m+n=3k$ 且 $m\ne n$ 的任意正整数 $m$，$n$，$k$，不等式 $S_m+S_n>c{S}_k$ 都成立.求证：$c$ 的最大值为 $\frac{9}{2}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设 $\sqrt{S_1}=r$，$\sqrt{S_n}=r+(n-1)d$，$d>0$。
2. $2a_2=a_1+a_3⟺3S_2=3S_1+S_3$，代入得 $(r-d{)}^2=0$，$r=d$。
3. $S_n=n^2{d}^2$，$a_n=(2n-1)d^2$。
4. $S_m+S_n=\frac{d^2}{2}\left[(m+n{)}^2+(m-n{)}^2\right]>\frac{d^2}{2}(3k{)}^2=\frac{9}{2}{S}_k$。
5. 取 $m=\frac{3k-1}{2},n=\frac{3k+1}{2}$（$k$ 正奇数），$\frac{S_m+S_n}{S_k}=\frac{9}{2}+\frac{1}{2k^2}\to \frac{9}{2}$，常数不可再大。

✅【答案】

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(1) $a_n=(2n-1)d^2$

(2) $c$ 的最大值为 $\frac{9}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

（1）记 $\sqrt{S_1}=r$。因各项均为正数，$S_n$ 严格递增，公差 $d>0$， $\sqrt{S_n}=r+(n-1)d.$ 由 $2a_2=a_1+a_3$ 及 $a_1=S_1$，$a_2=S_2-S_1$，$a_3=S_3-S_2$，得 $3S_2=3S_1+S_3.$ 代入 $S_1=r^2$，$S_2=(r+d{)}^2$，$S_3=(r+2d{)}^2$： $(r+2d{)}^2-3(r+d{)}^2+3r^2=(r-d{)}^2=0,$ 故 $r=d$，$S_n=n^2{d}^2$。 于是 $a_1=d^2$，$n⩾2$ 时 $a_n=S_n-S_{n-1}=n^2{d}^2-(n-1{)}^2{d}^2=(2n-1)d^2,$ 对一切正整数 $n$，$a_n=(2n-1)d^2$。 （2）由 $m+n=3k$： $S_m+S_n=d^2(m^2+n^2)=\frac{d^2}{2}\left[(m+n{)}^2+(m-n{)}^2\right].$ 因为 $m\ne n$，$(m-n{)}^2>0$，故 $S_m+S_n>\frac{d^2}{2}(3k{)}^2=\frac{9}{2}{d}^2{k}^2=\frac{9}{2}{S}_k,$ 即 $c=\frac{9}{2}$ 时不等式恒成立。 再证不能更大：对任意正奇数 $k$，取 $m=\frac{3k-1}{2}$，$n=\frac{3k+1}{2}$， 则 $m,n$ 是不相等的正整数且 $m+n=3k$， $\frac{S_m+S_n}{S_k}=\frac{m^2+n^2}{k^2}=\frac{9}{2}+\frac{1}{2k^2}.$ 当正奇数 $k$ 充分大时，该比值可小于任意给定的 $c>\frac{9}{2}$，不等式不再成立。 故 $c$ 的最大值为 $\frac{9}{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等差数列与 $S_n$ 的结构

核心方法：设 $\sqrt{S_n}=r+(n-1)d$，条件 $2a_2=a_1+a_3$ 化为 $r=d$

避坑指南：$(r+2d{)}^2-3(r+d{)}^2+3r^2=(r-d{)}^2$ 的展开要仔细；（2）中”最大值”需双向论证：先证 $\frac{9}{2}$ 可行，再构造数列证更大不可行，只做一半不得满分。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：$\sqrt{S_n}$ 成等差 $\Rightarrow S_n$ 是平方数列 $\Rightarrow a_n$ 是奇数列，结构层层递进。

结论推广：$m^2+n^2=\frac{(m+n{)}^2+(m-n{)}^2}{2}$ 是处理对称二元式的利器。

方法推广：恒成立参数的最值：可行性与不可更优性双向论证。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结

类题演练 (Links)

• 2009-大纲卷II文-17 解-等差数列求和
• 2009-江苏卷-17 解-等差数列整除分析
• 2012-江苏卷-20 解-数列递推与等比存在性
• 2009-安徽卷文-19 解-等差等比数列