2010-江苏卷-21 解-选做四选二

本题导读

选做四选二。A 角追踪得 $\theta =30^{\circ }$，$BC=BD=\frac{AB}{2}$；B $|k|=2$，$k=\pm 2$；C $|a+3|=5$，$a=2$ 或 $-8$；D 作差 $(t-1{)}^2(t^4+t^3+t^2+t+1)⩾0$。

📌【题干】

Question

（2010年江苏卷） 【选做题】在 A、B、C、D 四小题中只能选做两题. 【A】（选修 4-1：几何证明选讲） 如图，$AB$ 是 $\odot O$ 的直径，$D$ 为 $\odot O$ 上一点，过点 $D$ 作 $\odot O$ 的切线交 $AB$ 延长线于点 $C$.若 $DA=DC$，求证：$AB=2BC$. 【B】（选修 4-2：矩阵与变换） 在平面直角坐标系 $xOy$ 中，$A(0,0)$，$B(-2,0)$，$C(-2,1)$，设 $k$ 为非零实数.矩阵 $M=\left(\begin{array}{cc}k& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$，$N=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)$，点 $A$、$B$、$C$ 在矩阵 $MN$ 对应的变换下得到的点分别为 $A_1$、$B_1$、$C_1$，$△A_1{B}_1{C}_1$ 的面积是 $△ABC$ 面积的 $2$ 倍，求实数 $k$ 的值. 【C】（选修 4-4：坐标系与参数方程） 在极坐标系中，圆 $\rho =2\cos \theta$ 与直线 $3\rho \cos \theta +4\rho \sin \theta +a=0$ 相切，求实数 $a$ 的值. 【D】（选修 4-5：不等式选讲） 设 $a$，$b$ 是非负实数，求证：$a^3+b^3⩾\sqrt{ab}\left(a^2+b^2\right)$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. A：弦切角 $\angle BDC=\angle BAD$，$DA=DC$ 导角得 $\theta =30^{\circ }$，$BC=BD=\frac{AB}{2}$。
2. B：面积放大倍数 $=|\det (MN)|=|k|=2$。
3. C：圆 $(x-1{)}^2+y^2=1$，切线条件 $\frac{|3+a|}{5}=1$。
4. D：设 $t=\sqrt{\frac{a}{b}}$，化为 $t^6+1⩾t(t^4+1)$，作差 $(t-1{)}^2(t^4+t^3+t^2+t+1)⩾0$。

✅【答案】

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B：$k=\pm 2$；C：$a=2$ 或 $a=-8$；A、D 为证明题（见解析）

✍【详细解析】

Abstract

【A】 设 $\angle BAD=\theta$。 因为 $AB$ 是 $\odot O$ 的直径，所以 $\angle ADB=90^{\circ }$，在直角三角形 $ABD$ 中 $BD=AB\sin \theta$。 由弦切角定理，$\angle BDC=\angle BAD=\theta$。 又 $C$ 在 $AB$ 的延长线上，$\angle DBC=180^{\circ }-\angle ABD=180^{\circ }-(90^{\circ }-\theta )=90^{\circ }+\theta$， 故在 $△BDC$ 中 $\angle BCD=180^{\circ }-(90^{\circ }+\theta )-\theta =90^{\circ }-2\theta .$ 因为 $DA=DC$，$△DAC$ 为等腰三角形，$\angle DAC=\angle DCA$，而 $\angle DAC=\angle BAD=\theta$，$\angle DCA=\angle BCD=90^{\circ }-2\theta$， 故 $\theta =90^{\circ }-2\theta$，$\theta =30^{\circ }$。 于是 $\angle BDC=\angle BCD=30^{\circ }$，$△BDC$ 为等腰三角形， $BC=BD=AB\sin 30^{\circ }=\frac{AB}{2},$ 即 $AB=2BC$。 【B】 矩阵 $MN$ 对应的线性变换将平面图形面积放大为原来的 $|\det (MN)|=|\det M\cdot \det N|=|k\times (-1)|=|k|$ 倍。又 $S_{△ABC}=\frac{1}{2}\times 2\times 1=1$，由 $S_{△A_1{B}_1{C}_1}=2S_{△ABC}$ 得 $|k|=2$， 故 $k=2$ 或 $k=-2$。 【C】 圆 $\rho =2\cos \theta$ 化为直角坐标：$x^2+y^2=2x$，即 $(x-1{)}^2+y^2=1$，圆心 $(1,0)$，半径 $1$。 直线化为 $3x+4y+a=0$。相切条件： $\frac{|3+a|}{\sqrt{3^2+4^2}}=1\Rightarrow |a+3|=5,$ 解得 $a=2$ 或 $a=-8$。 【D】 当 $b=0$ 时右边为 $0$，不等式成立。以下设 $b>0$，令 $t=\sqrt{\frac{a}{b}}⩾0$，则 $a=t^{2}b$。 两边同除以 $b^3$，原不等式等价于 $t^6+1⩾t(t^4+1).$ 作差： $t^6+1-t^5-t=(t^5-1)(t-1)=(t-1{)}^2\left(t^4+t^3+t^2+t+1\right)⩾0,$ 故原不等式成立。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：选做四模块综合

核心方法：A 弦切角导角；B 行列式定面积比；C 极直互化；D 齐次换元

避坑指南：A 中弦切角 $\angle BDC=\angle BAD$ 是突破口，导角链 $\theta \to 90^{\circ }+\theta \to 90^{\circ }-2\theta$ 别断；B 中 $\det N=-1$，$|\det (MN)|=|k|$ 不是 $k$；D 中 $b=0$ 要单独交代。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：江苏附加题四选二：几何证明、矩阵、极坐标参数方程、不等式选讲各一题。

结论推广：线性变换下面积放大倍数 $=|\det |$，矩阵乘法 $MN$ 的次序影响变换结果。

方法推广：齐次不等式换元 $t=\sqrt{\frac{a}{b}}$ 化为单变量函数不等式。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.16 参数方程与复数变换

类题演练 (Links)

• 2012-江苏卷-21 解-几何证明选讲
• 2011-江苏卷-21 解-几何证明选讲
• 2011-辽宁卷文-22 解-三选一几何证明参数方程绝对值
• 2012-辽宁卷文-23 解-极坐标方程与公共弦