2010-江西卷文-10 单-直线与圆弦长定参

本题导读

考查弦长。$d=\frac{|2k|}{\sqrt{1+k^2}}$，$4-d^2⩾3⟺k^2⩽\frac{1}{3}$，$k\in \left[-\frac{\sqrt{3}}{3},\frac{\sqrt{3}}{3}\right]$，选 B。

📌【题干】

Question

（2010年江西卷(文)） 直线 $y=kx+3$ 与圆 $(x-2{)}^2+(y-3{)}^2=4$ 相交于 $M$，$N$ 两点，若 $|MN|⩾2\sqrt{3}$，则 $k$ 的取值范围是()

A. $\left[-\frac{3}{4},0\right]$　　　B. $\left[-\frac{\sqrt{3}}{3},\frac{\sqrt{3}}{3}\right]$　　　C. $[-\sqrt{3},\sqrt{3}]$　　　D. $\left[-\frac{2}{3},0\right]$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 圆心 $(2,3)$，半径 $r=2$。圆心到直线 $kx-y+3=0$ 的距离 $d=\frac{|2k|}{\sqrt{k^2+1}}$。
2. 半弦长 $=\sqrt{r^2-d^2}$，$|MN|=2\sqrt{4-d^2}⩾2\sqrt{3}⟺d^2⩽1$。
3. $\frac{4k^2}{1+k^2}⩽1⟺4k^2⩽1+k^2⟺3k^2⩽1$。
4. $|k|⩽\frac{\sqrt{3}}{3}$。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

圆 $(x-2{)}^2+(y-3{)}^2=4$ 的圆心为 $C(2,3)$，半径 $r=2$. 圆心到直线 $kx-y+3=0$ 的距离 $d=\frac{|2k-3+3|}{\sqrt{k^2+1}}=\frac{2|k|}{\sqrt{k^2+1}}.$ 由垂径定理，$|MN|=2\sqrt{r^2-d^2}$. 条件 $|MN|⩾2\sqrt{3}$ 等价于 $4-d^2⩾3,\text{即}{d}^2⩽1.$ 于是 $\frac{4k^2}{k^2+1}⩽1⟺4k^2⩽k^2+1⟺3k^2⩽1⟺|k|⩽\frac{\sqrt{3}}{3}.$ 故 $k$ 的取值范围是 $\left[-\frac{\sqrt{3}}{3},\frac{\sqrt{3}}{3}\right]$，选 B.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：直线与圆相交弦长

核心方法：圆心距 $d=\frac{|2k|}{\sqrt{1+k^2}}$，弦长 $2\sqrt{r^2-d^2}⩾2\sqrt{3}$

避坑指南：圆心 $(2,3)$ 恰在直线 $y=3$ 上（$k=0$ 过圆心弦最长）；$d^2⩽1$ 化为 $3k^2⩽1$ 时分母 $1+k^2$ 恒正可直接去分母。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：圆的弦长问题三条路：垂径定理、联立韦达、几何比例，垂径定理最快。

结论推广：$|MN|=2\sqrt{r^2-d^2}$ 中 $d$ 关于参数的函数决定取值范围，本质是”距离分式不等式”。

方法推广：直线过圆内定点时弦长有下界（直径），范围题先探特殊位置再解不等式。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 17.05 直线与圆的位置关系

类题演练 (Links)

• 2009-陕西卷文-04 单-直线与圆弦长
• 2011-湖北卷文-14 填-直线与圆弦长
• 2012-福建卷文-07 单-直线与圆弦长
• 2012-重庆卷文-03 单-直线与圆的弦长