2010-江西卷文-11 单-正方体空间命题判定

本题导读

考查空间命题。过 $M$ 与两异面直线都相交的直线唯一、都垂直的直线唯一、都平行的平面唯一，而都相交的平面有无穷多个，①②④真，选 C。

📌【题干】

Question

（2010年江西卷(文)） 如图，$M$ 是正方体 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 的棱 $D{D}_1$ 的中点，给出下列命题： ①过 $M$ 点有且只有一条直线与直线 $AB$、$B_1{C}_1$ 都相交； ②过 $M$ 点有且只有一条直线与直线 $AB$、$B_1{C}_1$ 都垂直； ③过 $M$ 点有且只有一个平面与直线 $AB$、$B_1{C}_1$ 都相交； ④过 $M$ 点有且只有一个平面与直线 $AB$、$B_1{C}_1$ 都平行. 其中真命题是()

A. ②③④　　　　　　B. ①③④　　　　　　C. ①②④　　　　　　D. ①②③

🔍【思路分析】

破题导航

1. ①：设过 $M$ 与 $AB$ 交于 $P$ 的直线交 $B_1{C}_1$ 于 $Q$，$P$，$Q$ 与 $M$ 共线，由两点定线可证唯一。
2. ②：与 $AB$、$B_1{C}_1$ 都垂直的方向由两线方向唯一确定（垂直于两者所张的平面方向），过 $M$ 该方向直线唯一。
3. ③：过 $M$ 且与 $AB$ 相交的平面可绕直线 $MP$ 转动，转动中仍与 $B_1{C}_1$ 相交的有无穷多个，③假。
4. ④：与两线都平行的平面，其法向量须同时垂直两线方向，方向唯一，平面唯一，④真。

✅【答案】

点击查看答案

C

✍【详细解析】

Abstract

设正方体棱长为 $1$，以 $D$ 为原点建立坐标系：$DA$，$DC$，$D{D}_1$ 分别为 $x$，$y$，$z$ 轴. 则 $M\left(0,0,\frac{1}{2}\right)$，$AB$：过 $(1,0,0)$ 沿 $y$ 轴方向，$B_1{C}_1$：过 $(1,1,1)$ 沿 $x$ 轴负方向. ①设所求直线与 $AB$ 交于点 $P$、与 $B_1{C}_1$ 交于点 $Q$. 直线 $PQ$ 要过 $M$，即 $P$，$M$，$Q$ 三点共线. $P$ 在直线 $AB$ 上、$Q$ 在直线 $B_1{C}_1$ 上各含一个参数，共线条件给出方程组，可解得唯一解，故这样的直线有且只有一条，①正确. ②与 $AB$、$B_1{C}_1$ 都垂直的直线，其方向向量须同时垂直两直线的方向向量，而这两个方向向量不共线，故方向向量按模只差倍数地唯一确定；过点 $M$ 沿该方向的直线有且只有一条，②正确. ③过 $M$ 与 $AB$ 相交的平面：平面过 $M$ 与 $AB$ 上一点 $P$，即过直线 $MP$；这样的平面绕直线 $MP$ 可转动，其中与 $B_1{C}_1$ 相交的平面有无穷多个（转动一个小角度不改变相交性），故并非有且只有一个，③错误. ④与 $AB$、$B_1{C}_1$ 都平行的平面，其法向量须同时垂直两直线的方向向量，方向唯一；过点 $M$ 以该法向量为法向量的平面有且只有一个，④正确. 综上真命题为①②④，选 C.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：空间命题的存在唯一性

核心方法：相交直线唯一、垂直直线唯一、平行平面唯一、相交平面无穷多，逐一构造或反证

避坑指南：③的”有且只有一个”是陷阱：过 $M$ 与 $AB$ 相交的平面绕交线转动，仍与 $B_1{C}_1$ 相交的有无穷多个；“存在唯一”四个字要按”存在”与”唯一”两半拆开验证。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：异面直线的公垂线唯一、过线外一点平行于异面直线的平面唯一，是空间唯一性命题的两大支柱。

结论推广：方向向量定直线、法向量定平面：与两不平行方向都垂直（平行）的方向（法向）按模唯一。

方法推广：空间命题真假判定题的通用流程：先举正例证”存在”，再反证”唯一”，或找反例推翻。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.06 正方体的性质

类题演练 (Links)

• 2009-新课标卷文-09 单-正方体动点判定
• 2009-安徽卷文-15 填-四面体命题
• 2009-江苏卷-12 填-空间命题真假
• 2012-四川卷文-06 单-空间位置关系命题判断