2010-江西卷文-12 单-三角函数图象判断

本题导读

考查三角图象判断。三条曲线中 $\sin \left(x+\frac{\pi }{6}\right)$ 与 $\sin \left(x-\frac{\pi }{3}\right)$ 在同一 $x$ 处一正一负于特殊点，$\sin 2x$ 周期减半，逐图核验知 C 图有误，选 C。

📌【题干】

Question

（2010年江西卷(文)） 四位同学在同一个坐标系中分别选定了一个适当的区间，各自作出三个函数 $y=\sin 2x$，$y=\sin \left(x+\frac{\pi }{6}\right)$，$y=\sin \left(x-\frac{\pi }{3}\right)$ 的图象如下. 结果发现其中有一位同学作出的图象有错误，那么有错误的图象是()

🔍【思路分析】

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1. $\sin \left(x-\frac{\pi }{3}\right)=\sin \left[\left(x+\frac{\pi }{6}\right)-\frac{\pi }{2}\right]=-\cos \left(x+\frac{\pi }{6}\right)$，与 $\sin \left(x+\frac{\pi }{6}\right)$ 相位差恒为 $\frac{\pi }{2}$。
2. $\sin 2x$ 的周期是另两个函数的一半，图象更密。
3. 用特殊点检验：$x=\frac{\pi }{12}$ 时 $\sin \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}>0$，$\sin \left(-\frac{\pi }{4}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}<0$，两曲线一在轴上一在轴下。
4. 逐图核验三条曲线的相对位置，C 图中有一条曲线与上述关系不符。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

三个函数都是正弦型函数. 记 $u=x+\frac{\pi }{6}$，则 $\sin \left(x-\frac{\pi }{3}\right)=\sin \left[\left(x+\frac{\pi }{6}\right)-\frac{\pi }{2}\right]=-\cos u,$ 即曲线 $y=\sin \left(x+\frac{\pi }{6}\right)$ 与 $y=\sin \left(x-\frac{\pi }{3}\right)$ 在同一坐标系中相差恒定的相位 $\frac{\pi }{2}$： 在 $u\in (0,\pi )$（即 $x\in \left(-\frac{\pi }{6},\frac{5\pi }{6}\right)$）上，$\sin u>0$ 而 $-\cos u$ 由 $-1$ 升到 $0$，两曲线一处同号、一处异号要逐段核对. 又 $y=\sin 2x$ 的周期为 $\pi$，是另外两条曲线周期的一半，在同一区间内其波峰波谷数应是它们的二倍. 检验时取特殊点最直接：$x=\frac{\pi }{12}$ 时， $\sin 2x=\sin \frac{\pi }{6}=\frac{1}{2},\sin \left(x+\frac{\pi }{6}\right)=\sin \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2},\sin \left(x-\frac{\pi }{3}\right)=\sin \left(-\frac{\pi }{4}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2},$ 即此处 $\sin 2x$ 与 $\sin \left(x+\frac{\pi }{6}\right)$ 在 $x$ 轴上方、$\sin \left(x-\frac{\pi }{3}\right)$ 在下方. 将四幅图逐一与”周期减半、相位差 $\frac{\pi }{2}$、特殊点正负”三条特征比对，只有 C 图中某条曲线的位置关系与其不符，故有错误的图象是 C，选 C.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三角函数图象的辨识

核心方法：抓三条特征：$\sin 2x$ 周期减半、$\sin \left(x-\frac{\pi }{3}\right)=-\cos \left(x+\frac{\pi }{6}\right)$ 相位差 $\frac{\pi }{2}$、特殊点正负定位

避坑指南：四幅图外形相近，靠”数波峰”与”特殊点代入”双重校验，凭印象对号最容易错；$x=\frac{\pi }{12}$ 处三函数值为 $\frac{1}{2}$、$\frac{\sqrt{2}}{2}$、$-\frac{\sqrt{2}}{2}$，一正一负一中间。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：同一坐标系多条正弦型曲线的辨识，核心在周期与相位两个自由度。

结论推广：$\sin \left(x-\frac{\pi }{3}\right)=-\cos \left(x+\frac{\pi }{6}\right)$ 这类”平移 $\frac{\pi }{2}$ 变余弦”的恒等变换是快速定位工具。

方法推广：图象判断题的通用程序：定周期 $\to$ 定相位 $\to$ 代特殊点，三步走完必有结论。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 2009-山东卷文-06 单-函数图象识别
• 2009-江西卷文-11 单-函数图象识别
• 2011-山东卷文-10 单-函数图象识别
• 2012-山东卷文-10 单-函数图象识别