2010-江西卷文-15 填-双曲线第二定义求坐标

本题导读

考查双曲线第二定义。$e=\frac{c}{a}=3$，右准线 $x=\frac{2}{3}$，$\frac{2x_0}{x_0-\frac{2}{3}}=3$ 解得 $x_0=2$。

📌【题干】

Question

（2010年江西卷(文)） 点 $A(x_0,y_0)$ 在双曲线 $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{32}=1$ 的右支上，若点 $A$ 到右焦点的距离等于 $2x_0$，则 $x_0$ 等于 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. $a^2=4$，$b^2=32$，$c=6$，$e=\frac{c}{a}=3$，右准线 $x=\frac{a^2}{c}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$。
2. 第二定义：$\frac{|AF|}{x_0-\frac{2}{3}}=e=3$。
3. $\frac{2x_0}{x_0-\frac{2}{3}}=3\Rightarrow 2x_0=3x_0-2\Rightarrow x_0=2$。
4. 检验：$x_0=2>0$ 在右支上，且 $|AF|=4>2=a$ 合理。

✅【答案】

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$2$

✍【详细解析】

Abstract

由双曲线方程知 $a^2=4$，$b^2=32$，故 $c=\sqrt{4+32}=6$，离心率 $e=\frac{c}{a}=3$， 右准线方程为 $x=\frac{a^2}{c}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$. 由双曲线的第二定义，右支上的点 $A$ 满足 $\frac{|AF|}{x_0-\frac{2}{3}}=e=3,$ 其中 $x_0-\frac{2}{3}$ 是 $A$ 到右准线的距离（$A$ 在右支上，$x_0>0$）. 将 $|AF|=2x_0$ 代入： $\frac{2x_0}{x_0-\frac{2}{3}}=3⟺2x_0=3x_0-2⟺x_0=2.$ 检验：$x_0=2$ 时 $y_0^2=32\left(\frac{4}{4}-1\right)=0$，即 $A$ 为右顶点，$|AF|=c-a=6-2=4=2x_0$，成立. 故答案为 $2$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：双曲线的第二定义

核心方法：$\frac{|AF|}{d(A,\text{右准线})}=e=3$，右准线 $x=\frac{a^2}{c}=\frac{2}{3}$

避坑指南：焦点在 $x$ 轴上时右支横坐标 $x_0⩾a=2$，到右准线距离是 $x_0-\frac{2}{3}$ 而不是 $\frac{2}{3}-x_0$；答案 $x_0=2$ 恰是右顶点，可代回验证 $|AF|=c-a=4=2x_0$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：第二定义把”到焦点距离”翻译成”到准线距离”，是焦半径问题的万能翻译机。

结论推广：椭圆、双曲线的第二定义形式统一：距离比恒为离心率。

方法推广：右顶点、通径端点等特殊位置代入检验，是圆锥曲线填空题的低成本自检。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2009-湖北卷文-05 单-双曲线准线
• 2009-江西卷文-07 单-双曲线离心率
• 2011-四川卷文-14 填-双曲线焦半径准线
• 2009-安徽卷文-06 单-双曲线离心率