2010-浙江卷文-05 单-等比数列求和比

本题导读

考查等比数列。$q=-2$，$\frac{S_5}{S_2}=\frac{1+32}{1-4}=-11$，选 A。

📌【题干】

Question

（2010年浙江卷(文)） 设 $S_n$ 为等比数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和，$8a_2+a_5=0$，则 $\frac{S_5}{S_2}=$()

A. $-11$　　　　　　　B. $-8$　　　　　　　C. $5$　　　　　　　D. $11$

🔍【思路分析】

破题导航

1. $8a_2+a_5=a_2(8+q^3)=0$，$a_2\ne 0$，故 $q^3=-8$，$q=-2$。
2. $\frac{S_5}{S_2}=\frac{1-q^5}{1-q^2}$（约去 $\frac{a_1}{1-q}$）。
3. $q^5=-32$，$\frac{1+32}{1-4}=\frac{33}{-3}=-11$。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

设公比为 $q$。由 $8a_2+a_5=a_2(8+q^3)=0$ 且 $a_2\ne 0$，得 $q^3=-8$，$q=-2$。 $\frac{S_5}{S_2}=\frac{\frac{a_1(1-q^5)}{1-q}}{\frac{a_1(1-q^2)}{1-q}}=\frac{1-q^5}{1-q^2}=\frac{1-(-32)}{1-4}=\frac{33}{-3}=-11.$ 故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等比数列的通项与前 $n$ 项和

核心方法：条件整体提取 $a_2$ 得 $q^3$，比值 $\frac{S_5}{S_2}$ 约去 $\frac{a_1}{1-q}$

避坑指南：$8a_2+a_5=0$ 得 $q^3=-8$ 不是 $q^3=8$；用求和公式前先确认 $q\ne 1$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：等比数列中 $\frac{S_m}{S_n}=\frac{1-q^m}{1-q^n}$（$q\ne 1$），与首项无关。

结论推广：$a_5=a_2{q}^3$ 是”隔项搭桥”的基本功。

方法推广：负公比的幂符号：$(-2{)}^5=-32$，奇次幂保号。

🔗【关联脉络】

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