2010-浙江卷文-08 单-三视图组合体体积

本题导读

考查三视图还原。几何体为上方正四棱柱（$4\times 4\times 2$）与下方正四棱台（上底 $4\times 4$、下底 $8\times 8$、高 $2$），$V=32+\frac{224}{3}=\frac{320}{3}$，选 B。

📌【题干】

Question

（2010年浙江卷(文)） 若某几何体的三视图（单位：$\mathrm{cm}$）如图所示，则此几何体的体积是()

A. $\frac{352}{3}{\mathrm{cm}}^3$　　　B. $\frac{320}{3}{\mathrm{cm}}^3$　　　C. $\frac{224}{3}{\mathrm{cm}}^3$　　　D. $\frac{160}{3}{\mathrm{cm}}^3$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 由俯视图内外两个正方形知几何体分上下两部分。
2. 上部：底面 $4\times 4$、高 $2$ 的正四棱柱，$V_1=16\times 2=32$。
3. 下部：上底 $4\times 4$、下底 $(2+4+2)\times (2+4+2)=8\times 8$、高 $2$ 的正四棱台。
4. $V_2=\frac{1}{3}\times 2\times (16+64+\sqrt{16\times 64})=\frac{2}{3}\times 112=\frac{224}{3}$。
5. $V=V_1+V_2=32+\frac{224}{3}=\frac{320}{3}$。

✅【答案】

点击查看答案

B

✍【详细解析】

Abstract

由三视图还原：该几何体上方是底面边长为 $4$、高为 $2$ 的正四棱柱， 下方是上底边长 $4$、下底边长 $2+4+2=8$、高为 $2$ 的正四棱台。 $V_1=4\times 4\times 2=32,$ $V_2=\frac{1}{3}h\left(S_1+S_2+\sqrt{S_1{S}_2}\right)=\frac{1}{3}\times 2\times (16+64+32)=\frac{224}{3},$ $V=V_1+V_2=32+\frac{224}{3}=\frac{320}{3}{\mathrm{cm}}^3.$ 故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三视图还原与组合体体积

核心方法：俯视图定底面分层，正视图标高：正四棱柱 $+$ 正四棱台

避坑指南：棱台体积 $V=\frac{1}{3}h(S_1+S_2+\sqrt{S_1{S}_2})$ 别漏根号项；下底边长是 $2+4+2=8$ 不是 $4$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：台体体积公式是浙江卷三视图题的高频考点。

结论推广：俯视图中内外两个正方形对应”上小下大”的台体结构。

方法推广：组合体体积分块求和，分界面尺寸要前后对应。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 2009-浙江卷文-12 填-三视图体积
• 2011-浙江卷文-07 单-三视图与直观图
• 2012-浙江卷文-03 单-三视图棱锥体积
• 2013-浙江卷文-05 单-三视图组合体