2010-浙江卷文-21 解-三次函数与等差数列

本题导读

考查三次函数与等差数列。（1）$f^{\prime }(2)=1$，切线 $y=x-2$；（2）$a,\frac{2a+b}{3},\frac{a+2b}{3},b$ 成等差，$x_4=\frac{2a+b}{3}$。

📌【题干】

Question

（2010年浙江卷(文)） 已知函数 $f(x)=(x-a{)}^2(x-b)$（$a,b\in \mathbf{R}$，$a<b$）.

(1)当 $a=1$，$b=2$ 时，求曲线 $y=f(x)$ 在点 $(2,f(2))$ 处的切线方程；

(2)设 $x_1$，$x_2$ 是 $f(x)$ 的两个极值点，$x_3$ 是 $f(x)$ 的一个零点，且 $x_3\ne x_1$，$x_3\ne x_2$. 证明：存在实数 $x_4$，使得 $x_1$，$x_2$，$x_3$，$x_4$ 按某种顺序排列后成等差数列，并求 $x_4$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. （1）$f(x)=(x-1{)}^2(x-2)$，$f^{\prime }(x)=(x-1)(3x-5)$，$f^{\prime }(2)=1$，$f(2)=0$，切线 $y=x-2$。
2. （2）$f^{\prime }(x)=2(x-a)(x-b)+(x-a{)}^2=(x-a)(3x-a-2b)$，极值点为 $a$ 与 $\frac{a+2b}{3}$。
3. $f$ 的零点为 $a$（二重）与 $b$，由条件 $x_3=b$。
4. 取 $x_4=\frac{2a+b}{3}$，则 $a,\frac{2a+b}{3},\frac{a+2b}{3},b$ 相邻两项之差均为 $\frac{b-a}{3}$，成等差数列。

✅【答案】

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(1) $y=x-2$

(2) $x_4=\frac{2a+b}{3}$

✍【详细解析】

Abstract

（1）当 $a=1$，$b=2$ 时，$f(x)=(x-1{)}^2(x-2)$， $f^{\prime }(x)=2(x-1)(x-2)+(x-1{)}^2=(x-1)(3x-5).$ $f^{\prime }(2)=1$，又 $f(2)=0$，故曲线在点 $(2,0)$ 处的切线方程为 $y=x-2.$ （2）对一般的 $a<b$： $f^{\prime }(x)=2(x-a)(x-b)+(x-a{)}^2=(x-a)(3x-a-2b),$ $f(x)$ 的两个极值点为 $x=a$ 与 $x=\frac{a+2b}{3}$。 $f(x)=0$ 的根为 $a$（二重根）与 $b$；由 $x_3\ne x_1$，$x_3\ne x_2$ 知 $x_3=b$。 不妨设 $x_1=a$，$x_2=\frac{a+2b}{3}$。取 $x_4=\frac{2a+b}{3},$ 则由 $a<b$ 得 $a<\frac{2a+b}{3}<\frac{a+2b}{3}<b,$ 且相邻两数之差均为 $\frac{b-a}{3}$，即 $x_1,x_4,x_2,x_3$ 依次成等差数列。 故存在实数 $x_4=\frac{2a+b}{3}$ 满足题意。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三次函数的极值、零点与等差数列

核心方法：求导因式分解定极值点，按公差 $\frac{b-a}{3}$ 插入 $x_4$

避坑指南：$f^{\prime }(x)=(x-a)(3x-a-2b)$ 的展开别漏 $(x-a{)}^2$ 项；$a$ 是二重零点故 $x_3\ne a$ 时只能 $x_3=b$；“按某种顺序排列”要给出具体顺序。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：$(x-a{)}^2(x-b)$ 型三次函数：$x=a$ 处与 $x$ 轴相切，$x=b$ 处穿过。

结论推广：两等距点 $x_1,x_2$ 之间（外）插入 $x_4$ 成等差，本质是求等差中项或对称点。

方法推广：存在性证明给出构造即可，不必讨论唯一性。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 20.04 三次函数性质全总结

类题演练 (Links)

• 2009-浙江卷文-21 解-导数切线与单调性
• 2012-江苏卷-18 解-三次函数极值点与零点
• 2011-浙江卷文-10 单-极值点与函数图象
• 2009-新课标卷文-21 解-三次函数极值与恒成立