2010-浙江卷理-08 单-双曲线

本题导读

本题考查双曲线第一定义、焦点三角形几何性质以及渐近线方程的求解，通过建立 $a,b,c$ 的几何关系快速突破。

📌【题干】

Question

（2010年浙江卷(理)） 设 $F_1,F_2$ 分别为双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$ 的左、右焦点. 若在双曲线右支上存在点 $P$，满足 $|P{F}_2|=|F_1{F}_2|$，且 $F_2$ 到直线 $P{F}_1$ 的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为()

A. $3x\pm 4y=0$　　B. $3x\pm 5y=0$　　C. $4x\pm 3y=0$　　D. $5x\pm 4y=0$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 运用双曲线定义：点 $P$ 在双曲线右支上，故 $|P{F}_1|-|P{F}_2|=2a$。
2. 利用已知几何条件：$|P{F}_2|=|F_1{F}_2|=2c$，代入得 $|P{F}_1|=2c+2a$。
3. 作垂线构建直角三角形：过 $F_2$ 作 $F_{2}H\perp P{F}_1$ 于点 $H$，已知垂线段 $F_{2}H=2a$（实轴长）。
4. 利用勾股定理列式：在 $\mathrm{Rt}△F_{2}H{F}_1$ 中，斜边 $F_1{F}_2=2c$，直角边 $F_{2}H=2a$，可求得 $F_{1}H=\sqrt{4c^2-4a^2}=2b$。
5. 在 $\mathrm{Rt}△F_{2}HP$ 中列方程：斜边 $P{F}_2=2c$，直角边 $F_{2}H=2a$，故 $PH=2b$。由于 $PH+H{F}_1=P{F}_1⟹2b+2b=2c+2a⟹2b=c+a$，利用 $c=\sqrt{a^2+b^2}$ 解出 $\frac{b}{a}$。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

第一步：分析焦半径与几何边长 设双曲线半焦距为 $c$。 因为 $|F_1{F}_2|=2c$，由题意 $|P{F}_2|=|F_1{F}_2|=2c$。

点 $P$ 在双曲线右支上，根据双曲线第一定义： $|P{F}_1|-|P{F}_2|=2a⟹|P{F}_1|=2c+2a$

第二步：构建直角三角形，用 $a,b,c$ 表示各线段长 过 $F_2$ 作 $F_{2}H\perp P{F}_1$ 于点 $H$，根据题意，点 $F_2$ 到 $P{F}_1$ 的距离 $F_{2}H=2a$。

在 $\mathrm{Rt}△F_{2}H{F}_1$ 中： $F_1{F}_2=2c,F_{2}H=2a$ $F_{1}H=\sqrt{|F_1{F}_2{|}^2-|F_{2}H{|}^2}=\sqrt{(2c{)}^2-(2a{)}^2}=2\sqrt{c^2-a^2}=2b$

在 $\mathrm{Rt}△F_{2}HP$ 中： $P{F}_2=2c,F_{2}H=2a$ $PH=\sqrt{|P{F}_2{|}^2-|F_{2}H{|}^2}=\sqrt{(2c{)}^2-(2a{)}^2}=2b$

第三步：利用几何加和关系建立 $a,b$ 的代数方程 因为 $H$ 落在线段 $P{F}_1$ 上，所以： $|P{F}_1|=PH+H{F}_1$ $2c+2a=2b+2b=4b⟹c+a=2b$

第四步：求解 $\frac{b}{a}$ 与渐近线方程 将 $c=2b-a$ 代入 $c^2=a^2+b^2$： $(2b-a{)}^2=a^2+b^2$ $4b^2-4ab+a^2=a^2+b^2⟹3b^2=4ab$

因为 $b>0$，两边同除以 $ab$ 得： $3\cdot \frac{b}{a}=4⟹\frac{b}{a}=\frac{4}{3}$

双曲线的渐近线方程为： $y=\pm \frac{b}{a}x⟹y=\pm \frac{4}{3}x⟹4x\pm 3y=0$

故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：双曲线定义 $|P{F}_1|-|P{F}_2|=2a$、焦点三角形几何应用、渐近线方程 $y=\pm \frac{b}{a}x$。
2. 核心方法：几何法（作高线 $F_{2}H\perp P{F}_1$）$\to$ 勾股定理将线段转换为 $a,b,c$ 形式 $\to$ 齐次方程求解 $\frac{b}{a}$。
3. 避坑指南：注意双曲线渐近线为 $y=\pm \frac{b}{a}x$，即 $bx\pm ay=0$，在本题中对应 $4x\pm 3y=0$，切勿看混选成 $3x\pm 4y=0$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：结合焦半径与焦点三角形几何特性的圆锥曲线考题。
2. 结论推广：若 $P$ 满足 $|P{F}_2|=2c$ 且高为 $2a$，则该焦点三角形各边比例为定值，对应渐近线斜率唯一确定。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 07.02 三角函数的定义与诱导公式

类题演练 (Links)

• 2012-大纲卷文-10 单-双曲线焦点三角形
• 2012-辽宁卷文-15 填-双曲线焦点三角形垂直
• 2013-湖南卷文-14 填-双曲线焦点三角形