2010-湖北卷文-16 解-三角恒等变换与最值

本题导读

考查三角变换与图象平移。$f(x)=\frac{1}{2}\cos 2x$ 由 $g(x)$ 左移 $\frac{\pi }{4}$、上移 $\frac{1}{4}$ 得到；$h(x)=\frac{\sqrt{2}}{2}\cos \left(2x+\frac{\pi }{4}\right)+\frac{1}{4}$ 最小值 $\frac{1}{4}-\frac{\sqrt{2}}{2}$，此时 $x\in \left\{\frac{3\pi }{8}+k\pi \mid k\in \mathbf{Z}\right\}$。

📌【题干】

Question

（2010年湖北卷(文)） 已知函数 $f(x)={\cos }^{2}x-\frac{{\sin }^{2}x}{2}$，$g(x)=\frac{1}{2}\sin 2x-\frac{1}{4}$.

(1) 函数 $f(x)$ 的图象可由函数 $g(x)$ 的图象经过怎样的变化得出？

(2) 求函数 $h(x)=f(x)-g(x)$ 的最小值，并求使 $h(x)$ 取得最小值的 $x$ 的集合.

🔍【思路分析】

破题导航

1. ${\cos }^{2}x=\frac{1+\cos 2x}{2}$，${\sin }^{2}x=\frac{1-\cos 2x}{2}$，故 $f(x)=\frac{1+\cos 2x}{2}-\frac{1-\cos 2x}{4}=\frac{1}{2}+\frac{\cos 2x}{2}-\frac{1}{4}+\frac{\cos 2x}{4}=\frac{1}{4}+\frac{3}{4}\cos 2x$？ 注意：原卷为 $f(x)=\frac{{\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x}{2}=\frac{\cos 2x}{2}$（分母 2 管住整体），故 $f(x)=\frac{1}{2}\cos 2x$。
2. $g\left(x+\frac{\pi }{4}\right)+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}\sin \left(2x+\frac{\pi }{2}\right)-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}\cos 2x=f(x)$，故由 $g(x)$ 图象向左平移 $\frac{\pi }{4}$ 个单位、再向上平移 $\frac{1}{4}$ 个单位。
3. $h(x)=\frac{1}{2}\cos 2x-\frac{1}{2}\sin 2x+\frac{1}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}\cos \left(2x+\frac{\pi }{4}\right)+\frac{1}{4}$。
4. 最小值当 $\cos \left(2x+\frac{\pi }{4}\right)=-1$，即 $2x+\frac{\pi }{4}=\pi +2k\pi$，$x=\frac{3\pi }{8}+k\pi$。最小值 $\frac{1}{4}-\frac{\sqrt{2}}{2}$。

✅【答案】

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(1) 向左平移 $\frac{\pi }{4}$ 个单位，再向上平移 $\frac{1}{4}$ 个单位

(2) 最小值为 $\frac{1}{4}-\frac{\sqrt{2}}{2}$，$x$ 的集合为 $\left\{\frac{3\pi }{8}+k\pi \mid k\in \mathbf{Z}\right\}$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 由 ${\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x=\cos 2x$，得 $f(x)=\frac{1}{2}\cos 2x$. 又 $g\left(x+\frac{\pi }{4}\right)+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}\sin \left(2x+\frac{\pi }{2}\right)-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}\cos 2x=f(x),$ 所以 $f(x)$ 的图象可由 $g(x)$ 的图象向左平移 $\frac{\pi }{4}$ 个单位，再向上平移 $\frac{1}{4}$ 个单位得到. (2) $h(x)=\frac{1}{2}\cos 2x-\frac{1}{2}\sin 2x+\frac{1}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}\cos \left(2x+\frac{\pi }{4}\right)+\frac{1}{4}.$ 因此 $h(x)$ 的最小值为 $\frac{1}{4}-\frac{\sqrt{2}}{2}$. 取得最小值时 $\cos \left(2x+\frac{\pi }{4}\right)=-1$， 即 $2x+\frac{\pi }{4}=\pi +2k\pi$（$k\in \mathbf{Z}$），所以 $x=\frac{3\pi }{8}+k\pi$（$k\in \mathbf{Z}$）， 所求集合为 $\left\{\frac{3\pi }{8}+k\pi \mid k\in \mathbf{Z}\right\}$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三角恒等变换与最值

核心方法：先平移得解析式，再用辅助角公式求最小值及取最小值的 $x$

避坑指南：左移 $\frac{\pi }{4}$ 再上移 $\frac{1}{4}$ 得新解析式，化 $a\sin x+b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\sin (x+\phi )$ 求最小值 $1/4-\frac{\sqrt{2}}{2}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：图象平移与辅助角公式组合，是三角最值的标准套路。

结论推广：$y=f(x)$ 左移 $h$、上移 $k$ 得 $y=f(x+h)+k$；辅助角公式 $a\sin x+b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\sin (x+\phi )$。

方法推广：平移先确定方向与单位，再用辅助角公式把函数化成一个正弦型，最值即振幅。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 10.01 两角和与差及辅助角公式

类题演练 (Links)

• 2009-山东卷文-03 单-三角图象平移
• 2009-福建卷文-19 解-三角函数图象平移
• 2009-天津卷文-07 单-三角图象平移对称
• 2011-北京卷文-15 解-三角恒等变换最值