2010-湖北卷理-19 解-抛物线

本题导读

本题考查利用曲线定义与几何性质求抛物线轨迹方程，以及直线与抛物线相交时向量数量积小于零（即钝角/反向）恒成立问题的参数范围求解。

📌【题干】

Question

（2010年湖北卷(理)） 已知一条曲线 $C$ 在 $y$ 轴的右边，$C$ 上每一点到点 $F(1,0)$ 的距离减去它到 $y$ 轴距离的差都是 1.

(1) 求曲线 $C$ 的方程；

(2) 是否存在正数 $m$，对于过点 $M(m,0)$ 且与曲线 $C$ 有两个交点 $A,B$ 的任一直线，都有 $\overrightarrow{FA}\cdot \overrightarrow{FB}<0$？若存在，求出 $m$ 的取值范围；若不存在，请说明理由.

🔍【思路分析】

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1. (1) 设 $C$ 上任意一点为 $P(x,y)$（其中 $x>0$），根据到点 $F(1,0)$ 的距离为 $\sqrt{(x-1{)}^2+y^2}$，到 $y$ 轴距离为 $x$，根据题意列出方程 $\sqrt{(x-1{)}^2+y^2}-x=1$，化简得到抛物线方程。
2. (2) 设过 $M(m,0)$ 的直线方程为 $x=ky+m$（或 $y=k(x-m)$），联立抛物线方程得到关于 $y$ 的一元二次方程，确保判别式 $\Delta >0$。
3. 利用韦达定理写出 $y_1+y_2$ 与 $y_1{y}_2$，展开向量数量积 $\overrightarrow{FA}\cdot \overrightarrow{FB}=(x_1-1)(x_2-1)+y_1{y}_2$，令其对任意满足条件的 $k$ 都小于 0，从而导出关于 $m$ 的不等式范围。

✅【答案】

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曲线𝐶的方程为𝑦2=4𝑥（𝑥>0）；存在这样的正数𝑚，其取值范围为3−√5<𝑚<3+√5.

✍【详细解析】

Abstract

(1) 设 $P(x,y)$ 为曲线 $C$ 上任意一点. 因为曲线 $C$ 在 $y$ 轴右侧，所以 $x>0$，点 $P$ 到 $y$ 轴的距离为 $x$. 根据题意得： $\sqrt{(x-1{)}^2+y^2}-x=1$ 移项得 $\sqrt{(x-1{)}^2+y^2}=x+1$. 两边平方得： $(x-1{)}^2+y^2=(x+1{)}^2$ 展开并化简得： $x^2-2x+1+y^2=x^2+2x+1⟹y^2=4x$ 因为 $x>0$，满足曲线 $C$ 在 $y$ 轴右侧的条件（且原点 $(0,0)$ 处需除去，即 $x>0$）. 故曲线 $C$ 的方程为：$y^2=4x$ ($x>0$).

(2) 存在符合条件的正数 $m$.

设过点 $M(m,0)$ ($m>0$) 且与抛物线 $y^2=4x$ 交于 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$ 两点的直线方程为： $x=ky+m$ （若直线斜率存在，设为 $y=k^{\prime }(x-m)$，当 $k^{\prime }=0$ 时直线与抛物线仅有 1 个交点，不合题意；故设 $x=ky+m$ 可包含斜率不存在的情况且避免讨论斜率是否为 0）.

联立直线与抛物线方程： $\{\begin{array}{l}x=ky+m\\ y^2=4x\end{array}⟹y^2-4ky-4m=0$

因为直线与抛物线有两个交点 $A,B$，所以判别式： $\Delta =(-4k{)}^2-4\times 1\times (-4m)=16k^2+16m>0$ 由于 $m>0$，对任意实数 $k$，$16k^2+16m>0$ 恒成立，故直线与抛物线恒有两个交点.

由韦达定理得： $\{\begin{array}{l}{y}_1+y_2=4k\\ y_1{y}_2=-4m\end{array}$ 由 $x_1=k{y}_1+m$，$x_2=k{y}_2+m$，可得： $x_1{x}_2=(k{y}_1+m)(k{y}_2+m)=k^2{y}_1{y}_2+km(y_1+y_2)+m^2=k^2(-4m)+km(4k)+m^2=m^2$ $x_1+x_2=k(y_1+y_2)+2m=4k^2+2m$

已知 $F(1,0)$，则 $\overrightarrow{FA}=(x_1-1,y_1)$，$\overrightarrow{FB}=(x_2-1,y_2)$. 计算向量数量积： $\overrightarrow{FA}\cdot \overrightarrow{FB}=(x_1-1)(x_2-1)+y_1{y}_2=x_1{x}_2-(x_1+x_2)+1+y_1{y}_2$ 代入 $x_1{x}_2,x_1+x_2,y_1{y}_2$ 得： $\overrightarrow{FA}\cdot \overrightarrow{FB}=m^2-(4k^2+2m)+1+(-4m)=-4k^2+m^2-6m+1$

题意要求对任意实数 $k$，都有 $\overrightarrow{FA}\cdot \overrightarrow{FB}<0$，即： $-4k^2+m^2-6m+1<0⟹4k^2>m^2-6m+1$ 要使该式对任意 $k\in \mathbb{R}$ 恒成立，由于 $4k^2\ge 0$（当 $k=0$ 时取得最小值 $0$）， 因此必须且只需： $m^2-6m+1<0$ 解方程 $m^2-6m+1=0$，得 $m=\frac{6\pm \sqrt{32}}{2}=3\pm 2\sqrt{2}$. 故方程 $m^2-6m+1<0$ 的解集为： $3-2\sqrt{2}<m<3+2\sqrt{2}$

因为 $3-2\sqrt{2}\approx 3-2.828=0.172>0$，满足 $m>0$ 的要求.

故存在满足条件的正数 $m$，其取值范围是 $(3-2\sqrt{2},3+2\sqrt{2})$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：抛物线的标准方程求法、直线与圆锥曲线的联立、韦达定理、向量数量积与不等式恒成立问题。
2. 核心方法：设直线为 $x=ky+m$ 以避免讨论斜率不存在；将 $\overrightarrow{FA}\cdot \overrightarrow{FB}<0$ 转化为关于 $k$ 的二次不等式恒成立问题。
3. 避坑指南：(1) 设直线时若设为 $y=k(x-m)$，需单独讨论斜率不存在（垂直于 $x$ 轴）及斜率为 0 的情况；(2) 第 (2) 问中“对任意 $k$ 恒成立”转化为 $4k^2>m^2-6m+1$ 恒成立时，最小值点在 $k=0$ 处，不能误用 ${\Delta }_k<0$ 计算。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：源于人教A版选修2-1第二章《圆锥曲线与方程》抛物线定义与直线位置关系的压轴综合题。
2. 结论推广：对抛物线 $y^2=2px$，过对称轴上定点 $M(m,0)$ 作直线交抛物线于 $A,B$，点 $F\left(\frac{p}{2},0\right)$ 为焦点，若 $\overrightarrow{FA}\cdot \overrightarrow{FB}<0$ 恒成立，其临界点满足 $m^2-3pm+\frac{p^2}{4}=0$。

🔗【关联脉络】

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• 09.01 平面向量基本概念

类题演练 (Links)

• 2011-江西卷文-19 解-抛物线焦点弦与向量
• 2011-湖南卷文-21 解-抛物线轨迹与向量最值
• 2012-江西卷文-20 解-向量轨迹抛物线切线