2010-湖南卷文-01 单-复数除法运算

本题导读

考查复数除法。$\frac{2}{1-i}=\frac{2(1+i)}{(1-i)(1+i)}=\frac{2(1+i)}{2}=1+i$，选 A。

📌【题干】

Question

（2010年湖南卷(文)） 复数 $\frac{2}{1-i}$ 等于()

A. $1+i$　　　　　　B. $1-i$　　　　　　C. $-1+i$　　　　　　D. $-1-i$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分母含 $1-i$，分子分母同乘共轭 $(1+i)$ 实数化。
2. 分母 $(1-i)(1+i)=2$，分子 $2(1+i)$，约分即得。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

分子分母同乘 $1+i$，得 $\frac{2}{1-i}=\frac{2(1+i)}{(1-i)(1+i)}=\frac{2(1+i)}{1^2+1^2}=\frac{2(1+i)}{2}=1+i.$ 故选 A.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：复数的除法运算

核心方法：分子分母同乘分母的共轭 $(1+i)$ 实数化，分母变为 $(1-i)(1+i)=2$

避坑指南：除法必须”分母实数化”，$\frac{2}{1-i}$ 的分母是 $1-i$ 而非 $i$，别套 $\frac{1}{i}=-i$ 的口诀；约分时分子 2 与分母 2 要同时约掉。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：复数除法是每年文科卷的固定起点，本质是乘共轭。

结论推广：$\frac{a}{b-ci}=\frac{a(b+ci)}{b^2+c^2}$，分母实数化后虚部自然分离。

方法推广：先写共轭再乘，分子分母同步进行；最后核对实部虚部与选项逐一对号。

🔗【关联脉络】

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