2009-新课标卷文-02 单-复数除法

本题导读

考查复数除法。分子分母同乘分母的共轭复数 $2+3\mathrm{i}$，化为实数分母后整理。

📌【题干】

Question

（2009年新课标卷(文)） 复数 $\frac{3+2\mathrm{i}}{2-3\mathrm{i}}=$ ()

A. $1$　　　　　　　B. $-1$　　　　　　　C. $\mathrm{i}$　　　　　　　D. $-\mathrm{i}$

🔍【思路分析】

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1. 分母 $2-3\mathrm{i}$，同乘其共轭 $(2+3\mathrm{i})$。
2. 分母变为 $2^2+3^2=13$，分子展开后约去 $13$。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

$\frac{3+2\mathrm{i}}{2-3\mathrm{i}}=\frac{(3+2\mathrm{i})(2+3\mathrm{i})}{(2-3\mathrm{i})(2+3\mathrm{i})}=\frac{6+9\mathrm{i}+4\mathrm{i}+6{\mathrm{i}}^2}{13}=\frac{13\mathrm{i}}{13}=\mathrm{i},$ 选 C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：复数的除法运算

核心方法：分母实数化（同乘共轭复数）

避坑指南：$(2-3\mathrm{i})(2+3\mathrm{i})=13$ 而不是 $4-9$；${\mathrm{i}}^2=-1$ 别丢负号。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：复数代数运算为全国卷必考小题。

结论推广：$\frac{a+b\mathrm{i}}{c+d\mathrm{i}}=\frac{(a+b\mathrm{i})(c-d\mathrm{i})}{c^2+d^2}$。

方法推广：除法统一走分母实数化，一步一步算不出错。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

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类题演练 (Links)

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