2010-湖南卷文-13 填-三视图棱锥体积

本题导读

考查三视图与体积。俯视图是两直角边为 5、6 的直角三角形，高为 $h$，$V=\frac{1}{3}\times \frac{1}{2}\times 5\times 6\times h=5h=20$，得 $h=4$。

📌【题干】

Question

（2010年湖南卷(文)） 图中的三个直角三角形是一个体积为 $20{\mathrm{cm}}^3$ 的几何体的三视图，则 $h=$ $\underline{}$ cm.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 正视图、侧视图为直角三角形，俯视图为直角三角形 $\Rightarrow$ 几何体是一条侧棱垂直于底面的三棱锥。
2. 底面直角三角形两直角边为 5、6，高为 $h$，代入棱锥体积公式。

✅【答案】

点击查看答案

4

✍【详细解析】

Abstract

由三视图知，该几何体是一条侧棱垂直于底面的三棱锥，且高为 $h$. 其底面是两直角边分别为 $5$ 和 $6$ 的直角三角形，底面积为 $S=\frac{1}{2}\times 5\times 6=15.$ 由体积公式 $V=\frac{1}{3}Sh=\frac{1}{3}\times 15\times h=5h=20,$ 解得 $h=4$. 故填 4.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三视图还原与棱锥体积

核心方法：三视图均为直角三角形 $\Rightarrow$ 一条侧棱垂直于底面的三棱锥，$V=\frac{1}{3}\times \left(\frac{1}{2}\times 5\times 6\right)\times h$

避坑指南：正视图的 $5$ 与侧视图的 $6$ 是俯视图直角三角形的两条直角边；体积公式别漏 $\frac{1}{3}$；高 $h$ 出现在正视图中。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：三视图还原几何体：先定底面（俯视图），再用正、侧视图定高度。

结论推广：长对正、高平齐、宽相等；三视图全为三角形时常是三棱锥。

方法推广：还原后代体积公式；数值核对：$V=20$ 对应 $5h$，$h=4$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 2009-天津卷文-12 填-三视图三棱柱体积
• 2009-辽宁卷文-16 填-三视图三棱锥体积
• 2009-浙江卷文-12 填-三视图体积
• 2011-天津卷文-10 填-三视图求体积