2010-湖南卷文-15 填-子集编码新定义

本题导读

考查新定义。$\{a_1,a_3\}$ 对应 $2^0+2^2=5$；$211=2^7+2^6+2^4+2^1+2^0$ 对应下标 $\{8,7,5,2,1\}$，即第 211 个子集为 $\{a_1,a_2,a_5,a_7,a_8\}$。

📌【题干】

Question

（2010年湖南卷(文)） 若规定 $E=\{a_1,a_2,\cdots ,a_{10}\}$ 的子集 $\{a_{i_1},a_{i_2},\cdots ,a_{i_n}\}$ 为 $E$ 的第 $k$ 个子集，其中 $k=2^{i_1-1}+2^{i_2-1}+2^{i_3-1}+\cdots +2^{i_n-1}$，则

(1)$\{a_1,a_3\}$ 是 $E$ 的第 $\underline{}$ 个子集；

(2)$E$ 的第 211 个子集是 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 每个子集对应一个二进制编码：$a_i$ 在子集中则 $2^{i-1}$ 计入 $k$。 2.（1）直接计算 $2^0+2^2$；（2）把 211 做二进制分解，再还原下标。

✅【答案】

点击查看答案

(1) 5

(2) $\{a_1,a_2,a_5,a_7,a_8\}$

✍【详细解析】

Abstract

（1）$\{a_1,a_3\}$ 中元素下标为 $1$，$3$，对应 $k=2^{1-1}+2^{3-1}=2^0+2^2=1+4=5.$ （2）将 211 写成 2 的幂之和： $211=128+64+16+2+1=2^7+2^6+2^4+2^1+2^0.$ 由 $2^{i-1}$ 的指数 $i-1\in \{7,6,4,1,0\}$，得下标 $i\in \{8,7,5,2,1\}$， 故第 211 个子集为 $\{a_1,a_2,a_5,a_7,a_8\}$. 故填（1）5；（2）$\{a_1,a_2,a_5,a_7,a_8\}$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：集合子集的新定义编码

核心方法：$k=\sum 2^{i-1}$ 即子集的二进制编码，211 做 2 的幂分解还原下标

避坑指南：$211=2^7+2^6+2^4+2^1+2^0$ 的分解要逐次减去最大幂；指数 $i-1$ 还原下标时加回 1，别错成 $i-1$ 本身。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：新定义题的本质是”照定义办事”，本题定义即二进制展开。

结论推广：$n$ 元集有 $2^n$ 个子集，编号 $0\sim 2^n-1$ 与二进制一一对应。

方法推广：做新定义题：先验小例子（如 $\{a_1,a_3\}$），确认理解无误再做逆向分解。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 01.01集合的含义、表示与基本运算

类题演练 (Links)

• 2011-新课标卷文-01 单-子集个数
• 2012-湖北卷文-01 单-集合子集计数
• 2012-湖南卷文-16 填-二进制新定义数列
• 2013-江苏卷-04 填-集合子集