2010-湖南卷理-06 单-解三角形

本题导读

本题考查利用余弦定理比较三角形边长的大小。

📌【题干】

Question

（2010年湖南卷(理)） 在 $△ABC$ 中，角 $A,B,C$ 所对的边长分别为 $a,b,c$，若 $\angle C=120^{\circ }$，$c=\sqrt{2}a$，则 ()

A. $a>b$　B. $a<b$　C. $a=b$　D. $a$ 与 $b$ 的大小关系不能确定

🔍【思路分析】

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1. 将已知条件 $\angle C=120^{\circ }$ 和 $c=\sqrt{2}a$ 代入余弦定理公式 $c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$。
2. 建立关于 $a,b$ 的方程并化简，判断 $a$ 与 $b$ 的大小。

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A

✍【详细解析】

Abstract

由余弦定理 $c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$，将 $c=\sqrt{2}a$ 及 $\cos 120^{\circ }=-\frac{1}{2}$ 代入： $(\sqrt{2}a{)}^2=a^2+b^2-2ab\left(-\frac{1}{2}\right)$ $2a^2=a^2+b^2+ab⟹a^2-ab-b^2=0$ 两边同除以 $b^2$（因 $b>0$）： ${\left(\frac{a}{b}\right)}^2-\left(\frac{a}{b}\right)-1=0$ 设 $x=\frac{a}{b}>0$，解方程 $x^2-x-1=0$ 得： $x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\approx 1.618$ 因为 $\frac{a}{b}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}>1$，所以 $a>b$。 故选 A.。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：余弦定理的应用。
2. 核心方法：方程齐次化，转化为求边长比值 $\frac{a}{b}$。
3. 避坑指南：由 $a^2-ab-b^2=0⟹a^2=b(a+b)>b^2$ 也可直接得出 $a>b$，无需盲目猜测。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：源于人教A版必修五第一章《解三角形》余弦定理应用题。
2. 结论推广：对 $△ABC$，若 $\angle C=120^{\circ }$ 且 $c=\sqrt{2}a$，则 $a:b:c=1:\frac{\sqrt{5}-1}{2}:\sqrt{2}$，此比例蕴含黄金分割比。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 07.02 三角函数的定义与诱导公式

类题演练 (Links)

• 2011-山东卷文-17 解-正余弦定理解三角形
• 2011-湖北卷文-16 解-正余弦定理解三角形
• 2011-辽宁卷文-17 解-正余弦定理解三角形