2010-湖南卷理-18 解-线面位置

本题导读

本题考查正方体结构中线面角（线面所成角的正弦值）的计算，以及利用空间向量或平面几何平行性质探究线面平行的存在性问题。

📌【题干】

Question

（2010年湖南卷(理)） 如图所示，在正方体 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 中，$E$ 是棱 $D{D}_1$ 的中点.

(1) 求直线 $BE$ 和平面 $AB{B}_1{A}_1$ 所成的角的正弦值；

(2) 在棱 $C_1{D}_1$ 上是否存在一点 $F$，使 $B_{1}F\parallel$ 平面 $A_{1}BE$？证明你的结论.

🔍【思路分析】

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1. 以 $A$ 为原点，分别以 $AB,AD,A{A}_1$ 所在直线为 $x,y,z$ 轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为 2。
2. (1) 易知平面 $AB{B}_1{A}_1$ 的法向量为 $\mathbf{n}=(0,1,0)$，写出向量 $\overrightarrow{BE}$，利用线面角公式 $\sin \theta =|\cos ⟨\overrightarrow{BE},\mathbf{n}⟩|=\frac{|\overrightarrow{BE}\cdot \mathbf{n}|}{|\overrightarrow{BE}||\mathbf{n}|}$ 计算。
3. (2) 设 $F$ 为 $C_1{D}_1$ 上一点，坐标设为 $(x,2,2)$ ($0\le x\le 2$)，求出平面 $A_{1}BE$ 的法向量 $\mathbf{m}$，由 $B_{1}F\parallel$ 平面 $A_{1}BE⟺\overrightarrow{B_{1}F}\cdot \mathbf{m}=0$ 解出 $x$，若解在 $[0,2]$ 内则存在，反之不存在。

✅【答案】

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✍【详细解析】

Abstract

以 $A$ 为坐标原点，$\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{A{A}_1}$ 方向分别为 $x,y,z$ 轴正方向建立空间直角坐标系 $A-xyz$. 设正方体的棱长为 2，则各点坐标为： $A(0,0,0)$，$B(2,0,0)$，$A_1(0,0,2)$，$B_1(2,0,2)$，$C_1(2,2,2)$，$D_1(0,2,2)$. 因为 $E$ 是棱 $D{D}_1$ 的中点，所以 $E(0,2,1)$.

(1) 计算直线 $BE$ 和平面 $AB{B}_1{A}_1$ 所成角的正弦值： 向量 $\overrightarrow{BE}=(0-2,2-0,1-0)=(-2,2,1)$. 模长 $|\overrightarrow{BE}|=\sqrt{(-2{)}^2+2^2+1^2}=3$.

平面 $AB{B}_1{A}_1$ 垂直于 $y$ 轴，故其一个单位法向量可取为 $\mathbf{n}=(0,1,0)$. 设直线 $BE$ 与平面 $AB{B}_1{A}_1$ 所成的角为 $\theta$，则： $\sin \theta =|\cos ⟨\overrightarrow{BE},\mathbf{n}⟩|=\frac{|\overrightarrow{BE}\cdot \mathbf{n}|}{|\overrightarrow{BE}||\mathbf{n}|}=\frac{|(-2)\times 0+2\times 1+1\times 0|}{3\times 1}=\frac{2}{3}$

所以直线 $BE$ 和平面 $AB{B}_1{A}_1$ 所成的角的正弦值为 $\frac{2}{3}$.

(2) 假设棱 $C_1{D}_1$ 上存在点 $F$ 使 $B_{1}F\parallel$ 平面 $A_{1}BE$. 因为点 $F$ 在棱 $C_1{D}_1$ 上，设 $F(x,2,2)$（其中 $0\le x\le 2$）. 向量 $\overrightarrow{B_{1}F}=(x-2,2,0)$.

在平面 $A_{1}BE$ 中，$\overrightarrow{A{A}_1}=(0,0,2)$，$\overrightarrow{A_{1}B}=B-A_1=(2,0,-2)$，$\overrightarrow{A_{1}E}=E-A_1=(0,2,-1)$. 设平面 $A_{1}BE$ 的法向量为 $\mathbf{m}=(x_0,y_0,z_0)$，则： $\{\begin{array}{l}\mathbf{m}\cdot \overrightarrow{A_{1}B}=2x_0-2z_0=0\\ \mathbf{m}\cdot \overrightarrow{A_{1}E}=2y_0-z_0=0\end{array}$ 取 $z_0=2$，解得 $x_0=2$，$y_0=1$. 所以平面 $A_{1}BE$ 的一个法向量为 $\mathbf{m}=(2,1,2)$.

要使 $B_{1}F\parallel$ 平面 $A_{1}BE$，且 $B_{1}F\not\subset$ 平面 $A_{1}BE$，只需： $\overrightarrow{B_{1}F}\cdot \mathbf{m}=0$ 即： $(x-2)\times 2+2\times 1+0\times 2=0⟹2x-4+2=0⟹2x=2⟹x=1$

因为 $x=1\in [0,2]$，且此时点 $F(1,2,2)$ 为棱 $C_1{D}_1$ 的中点，且 $B_{1}F\not\subset$ 平面 $A_{1}BE$.

故棱 $C_1{D}_1$ 上存在点 $F$，使 $B_{1}F\parallel$ 平面 $A_{1}BE$，此时点 $F$ 为棱 $C_1{D}_1$ 的中点.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：空间直角坐标系的建立、利用向量法求线面角、线面平行的向量条件（向量垂直于法向量）。
2. 核心方法：构建法向量，将几何关系转化为代数方程 $\overrightarrow{B_{1}F}\cdot \mathbf{m}=0$ 求解。
3. 避坑指南：(1) 线面角正弦值等于方向向量与法向量夹角余弦值的绝对值，即 $\sin \theta =|\cos \varphi |$；(2) 验证存在性时解出参数后必须检验是否属于定义区间（如 $x\in [0,2]$）。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：源于人教A版选修2-1第三章《空间向量与立体几何》经典正方体综合例题。
2. 结论推广：在空间几何体中，直线平行的存在性探索问题均可设出动点坐标，联立线面法向量垂直公式进行求解。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 17.05 直线与圆的位置关系

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷理-21 解-线面角
• 2011-四川卷理-19 解-三棱柱线面
• 2011-大纲卷文-20 解-四棱锥线面垂直与线面角