2010-福建卷文-08 单-充要条件与向量模

本题导读

考查充要条件。$x=4$ 是 $|\mathbf{a}|=5$ 的充分而不必要条件，选 A。

📌【题干】

Question

（2010年福建卷(文)） 若向量 $\mathbf{a}=(x,3)$（$x\in \mathbf{R}$），则"$x=4$"是"$|\mathbf{a}|=5$"的()

A. 充分而不必要条件　　　　　　　　　B. 必要而不充分条件

C. 充要条件　　　　　　　　　　　　　D. 既不充分也不必要条件

🔍【思路分析】

破题导航

1. 若 $x=4$，$|\mathbf{a}|=\sqrt{16+9}=5$，充分性成立。
2. 若 $|\mathbf{a}|=5$，$x^2+9=25$，$x=\pm 4$，推不出 $x=4$，必要性不成立。
3. 故为充分而不必要条件。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

若 $x=4$，则 $|\mathbf{a}|=\sqrt{x^2+3^2}=\sqrt{16+9}=5$，充分性成立. 若 $|\mathbf{a}|=5$，则 $x^2+9=25$，$x=4$ 或 $x=-4$，不能推出 $x=4$，必要性不成立. 故"$x=4$"是"$|\mathbf{a}|=5$"的充分而不必要条件，选 A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：充分必要条件的判定

核心方法：分别检验"$p\Rightarrow q$"与"$q\Rightarrow p$"两个方向

避坑指南：$|\mathbf{a}|=5$ 解出 $x=\pm 4$ 有两支，"$x=4$"只是其中一支，必要性不成立；方向别判反：”$x=4$ 是 $|\mathbf{a}|=5$ 的什么条件”主语是 $x=4$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：充要条件判定题先解出等式（$x^2+9=25$），比较解集的包含关系：小推大充分。

结论推广：$\{4\}⊊\{4,-4\}$，故 $x=4$ 是充分不必要条件。

方法推广：向量模的方程常有两支，一支成立即”不必要”。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 02.01 常用逻辑用语

类题演练 (Links)

• 2009-安徽卷文-04 单-充分必要条件
• 2009-浙江卷文-02 单-充分必要条件
• 2011-福建卷文-03 单-充分不必要条件
• 2012-浙江卷文-07 单-向量模与共线