2010-福建卷文-10 单-图象平移重合定周期

本题导读

考查图象平移与周期。平移重合要求 $\omega =4k$，$4,8,12$ 均可、$6$ 不行，选 B。

📌【题干】

Question

（2010年福建卷(文)） 将函数 $f(x)=\sin (\omega x+\phi )$ 的图象向左平移 $\frac{\pi }{2}$ 个单位，若所得图象与原图象重合，则 $\omega$ 的值不可能等于()

A. $4$　　　　　　　B. $6$　　　　　　　C. $8$　　　　　　　D. $12$

🔍【思路分析】

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1. 左移 $\frac{\pi }{2}$ 后为 $y=\sin \left(\omega x+\frac{\omega \pi }{2}+\phi \right)$。
2. 与原图象重合 $⟺\frac{\omega \pi }{2}=2k\pi$（$k\in \mathbf{Z}$）。
3. 即 $\omega =4k$，$\omega$ 须为 $4$ 的倍数。
4. $4,8,12$ 都是 $4$ 的倍数，$6$ 不是，故 $\omega =6$ 不可能。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

将 $f(x)=\sin (\omega x+\phi )$ 的图象向左平移 $\frac{\pi }{2}$ 个单位，得 $y=\sin \left[\omega \left(x+\frac{\pi }{2}\right)+\phi \right]=\sin \left(\omega x+\frac{\omega \pi }{2}+\phi \right).$ 所得图象与原图象重合，当且仅当 $\frac{\omega \pi }{2}=2k\pi$（$k\in \mathbf{Z}$），即 $\omega =4k,$ 故 $\omega$ 必须是 $4$ 的倍数. 选项中 $4$，$8$，$12$ 均为 $4$ 的倍数，而 $6$ 不是， 因此 $\omega$ 的值不可能等于 $6$，选 B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：图象平移与周期重合

核心方法：平移后重合 $⟺\omega \cdot \frac{\pi }{2}=2k\pi$，即 $\omega =4k$

避坑指南：“重合”要求相位差是周期的整数倍 $2k\pi$，不是 $\pi$ 的整数倍；$6=4\times 1.5$ 不是 $4$ 的倍数，是最容易误选的干扰项。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：正弦型曲线 $f(x)=\sin (\omega x+\phi )$ 平移 $d$ 后重合 $⟺\omega d=2k\pi$。

结论推广：本质是周期性：平移量必须是周期 $T=\frac{2\pi }{\omega }$ 的整数倍。

方法推广：与”对称轴重合”类题区分：后者要求相位差是 $\pi$ 的整数倍加 $\frac{\pi }{2}$ 的结构。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 2009-大纲卷II文-09 单-正切图象平移重合
• 2011-大纲卷文-07 单-三角图象平移重合
• 2012-天津卷文-07 单-三角函数图象平移
• 2013-福建卷文-09 单-三角图象平移